Tìm $m$ để hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+m$ có ba điểm cực $A,\,B,\,C$ sao cho $A\in Oy$ và $OA=BC.$

Tìm $m$ để hàm số $y=x^4-4(m-1)x^2+2m-1$ có ba điểm cực.

Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+(2m-1)x-m+2$ có hai điểm cực ở về hai phía trục $Oy.$

Tìm $m$ để hàm số $y=2x^3+(m-1)x^2-12x+m$ có hai điểm cực cách đều trục $Oy.$

Tìm $m$ để hàm số $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx$ có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua hai điểm cực vuông góc với $y=x+2.$

Tìm $m$ để hàm số $y=-x^3+3(m+1)x^2-(3m^2-7m+1)x+m^2-1$ có cực đại, cực tiểu và $y_{ct}<1.$

Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}mx^3-(m-1)x^2-3(m-2)x-\dfrac{1}{2}$ đạt cực trị tại $x_1,\,x_2$ sao cho $x_1+3x_2=1.$

Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-1)x-\dfrac{m}{3}$ đạt cực trị tại $x_1,\,x_2$ sao cho $x_1^2=x_2\left(x_1-2m\right)+10.$

Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{2}{3}x^3-mx^2-2(3m^2-1)x$ đạt cực trị tại $x_1,\,x_2$ sao cho $x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=1.$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $\Delta ABC$ vuông cân tại $B,\,AB=CB=2a,\,(SAB)$ và $(SAC)$ vuông góc với $(ABC),\,M$ là trung điểm $AB,\,(\alpha)$ qua $SM//BC$ cắt $AC$ tại $N;\,(SBC)$ tạo với $(ABC)$ góc $60^o.$ Tính:

     a) Thể tích khối chóp $S.BCNM$

     b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AB$ và $SN$

Cho hình chóp $S.ABC$ có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B,\,SA\perp (ABC),\,AB=BC=a,\,SB$ tạo với đáy góc $60^o,\,M$ là trung điểm $AB.$ Tính:

     a) Thể tích khối chóp $S.ABC$

     b) Khoảng cách từ $B$ đến $(SMC).$

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2\neq 0$ và $\left(a+b+c\right)^2=2\left(a^2+b^2+c^2\right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}$$

Giải phương trình: $$\sqrt[4]{27x^2+24x+\dfrac{28}{3}}=1+\sqrt{\dfrac{27x}{2}+6}$$

Chứng minh rằng trong $\Delta ABC$ , ta luôn có: $$\left(3-\dfrac{b+c}{a}\right)\left(3-\dfrac{a+c}{b} \right)\left(3-\dfrac{a+b}{c} \right)\leq 1.$$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$A=\cos^4x+\sin^4x+\sin x\cos x+1$$