Giải phương trình: $$x^{2}=x+\left ( x-\frac{1}2{} \right )\sqrt{1+x}+\left ( x+\frac{1}{2} \right )\sqrt{1-x}$$

Giải phương trình: $$x^2-x-2=\sqrt{3x^2+4x}-x\sqrt{2x+1}$$

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$, đáy là tam giác $ABC$ có $AC =\sqrt{3} AB, AA' \perp A'C, A'C = a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, với $A'B \perp (AB'M)$. Biết rằng , góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ACC'A')$ bằng $45^0$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $I.$ Hình chiếu của $B$ lên $AD$ là điểm $M\left(\frac{-13}{5};\,\frac{9}{5} \right);\,(BD): 3x-2y+1=0.$ Tứ giác $AMBI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn. Biết $\tan MBD=\dfrac{1}{2};\,x_{B}>x_{D}.$Tìm toạ độ các đỉnh hình bình hành.

Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{b^{3}+2}+\dfrac{b}{c^{3}+2}+\dfrac{c}{a^{3}+2}\geq 1.$$

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: $$\left ( \frac{2010}{2012}+\frac{2x}{2013} \right )^{10}$$

Cho các số thực $a,\,b,\,c\geq 1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{a^{3}+2}{b^{2}-b+1}+\dfrac{b^{3}+2}{c^{2}-c+1}+\dfrac{c^{3}+2}{a^{2}-a+1}\geq 9$$

Cho $a;\,b;\,c>0$ thỏa $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Chứng minh rằng:$$\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \right)}\geq \sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}$$

Giải phương trình: $$\dfrac{\cos 3x}{\sin x} - \dfrac{\cos x}{\sin 3x} + 2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right) = \dfrac{2\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)}{\sin x}$$

Giải phương trình: $$8\sin x+\sin 2x+9\cos 2x+2\cos 3x+\cos 4x=4\sin 3x+\sin 4x+4$$

Giải phương trình: $$\sin2013x\sin2012x=2012\sin x$$

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\\ y^{2}+x+2y\sqrt{x}-y^{2}x=0 \end{matrix}\right.$$

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^2+y^2=\dfrac{1}{2} \\ 4x\left(x^3-x^2+x-1\right)=y^2+2xy-2 \end{cases}$$

Giải phương trình: $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-11x+33}+\sqrt{3x-5}$$