Cho hàm số $y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-\left(m^2-1\right).$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x=1.$

Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3mx^2+\left(m^2-1\right)x+2$ đạt cực tiểu tại $x=2.$

Cho hàm số $y=x^4-2\left(m+1\right)x^2+m\,\,(*).$ Tìm $m$ để hàm số $(*)$ có ba điểm cực trị $A,\,B,\,C$ sao cho $OA=BC,$ trong đó $O$ là gốc tọa độ, $A$ là điểm cực trị thuộc trục tung, $B$ và $C$ là hai điểm cực trị còn lại.

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2}x^4-mx^2+\dfrac{1}{2}.$

    1) Xác định $m$ để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

    2) Xác định $m$ để hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác:

        a) Đều

        b) Vuông

        c) Có diện tích bằng $\frac{1}{2}$

Tính thể tích hình chóp $S.ABC$ biết $SA=a,\,SB=b,\,SC=c,\,\widehat{ASB}=60^o,$ $\widehat{BSC}=90^o,\,\widehat{CSA}=120^o.$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,$ $\widehat{BAD}=60^o,$ $SA\perp(ABCD),\,SA=a.$ Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AC'$ và song song $BD,$ cắt các cạnh $SB,\,SD$ của hình chóp lần lượt tại $B',\,D'.$ Tính thể tích của khối chóp $S.AB'C'D'.$

Giải phương trình: $$\sqrt[4]{3\left(x+5\right)} - \sqrt[4]{x+13} = \sqrt[4]{11-x} - \sqrt[4]{3\left(3-x\right)}$$

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Chứng minh rằng:$$\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \right)}\geq \sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}$$

Phương trình đã cho tương đương với:

$ 729\left(x-1\right)^5=32\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\\\Leftrightarrow 729\left(x-1\right)^5=\dfrac{32}{x-\sqrt{x^2-1}}\\\Leftrightarrow 729\left(x-1\right)^5\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)=32 $

Đến đây xét hàm số $f(x)=729\left(x-1\right)^5\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\,\,\mbox{trên}\,\,\left[1;\,+\infty\right],$ ta có:

$f'(x)=3645\left(x-1\right)^4\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)+729\left(x-1\right)^5\left(1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)$