|
|
đặt câu hỏi
|
Hệ phương trình.
|
|
|
|
Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x^2+21}=\sqrt{y-1}+y^2\\\sqrt{y^2+21}=\sqrt{x-1}+x^2 \end{array} \right.$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức.
|
|
|
|
Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3.$ Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c} \geq\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Đa thức - Toán 7(tt).
|
|
|
|
Cho đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(x-1)f(x+2)=(x-7)f(x),\,\,\forall x.$ Chứng minh rằng: $f(x)$ có ít nhất hai nghiệm.
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Đa thức - Toán 7.
|
|
|
|
Cho đa thức $f(x)$ có bậc $4$ thỏa mãn $f(1)=f(-1);\,f(2)=f(-2)$ Chứng minh rằng: $$f(2013)=f(-2013)$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức(tttt).
|
|
|
|
Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{a^3+abc+b^3}+\dfrac{b^3}{b^3+abc+c^3}+\dfrac{c^3}{c^3+abc+a^3}\geq1$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức(ttt).
|
|
|
|
Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3abc.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{b^2c^2}+\dfrac{b}{c^2a^2}+\dfrac{c}{a^2b^2}\geq\dfrac{9}{a+b+c}$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức(tt).
|
|
|
|
Cho các số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\geq\dfrac{1}{30}$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức.
|
|
|
|
Cho ba số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{x^2}{x+\sqrt{xz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\geq\dfrac{3}{2}$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Hằng đẳng thức.
|
|
|
|
Chứng minh với $a,\,b\in\mathbb{Q},$ ta luôn có: $$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Áp dụng hằng đẳng thức trên, tính các biểu thức:
$A=100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + 96^2 - 95^2 + ....+ 2^2 - 1^2$
$B=(30^2 + 28^2 + 26^2 + ...+ 4^4 + 2^2) - ( 29^2 + 27^2 + 25^2 +....+ 3^2 + 1^2)$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Hệ phương trình.
|
|
|
|
Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x^3+3xy^2=-49\\x^2-8xy+y^2=8x-17 \end{array} \right.$$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cực trị.
|
|
|
|
$\fbox{Bài toán.}$ Cho $0<x,\,y\leq 1$ thỏa mãn $x+y=4xy.$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: $$P=x^2+y^2-7xy.$$
Hiện đang có hai lời giải cho hai đáp án trái chiều nhau của bài Toán trên, mong mọi người xem và phân tích giúp em là lời giải nào đúng, lời giải nào sai và sai chỗ nào ạ và sửa lại ra sao? $\bullet$ Cách 1: Áp dụng $AM-GM,$ ta có: $4xy=x+y\geqslant 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\geqslant \frac{1}{4}$ Ta có $P=x^2+y^2-7xy=(x+y)^2-9xy=16(xy)^2-32xy$ Đặt $t=xy$, $\Rightarrow t\in \left [ \frac{1}{4};1 \right ]$ $\Rightarrow P=f(t)=16t^2-9t$ $\Rightarrow f'(t)=32t-9=0\Leftrightarrow t=\frac{9}{32}$ Lập
bảng biến thiên của $f(t)$ ta có $\left\{\begin{matrix} f(t)\geqslant
f(\frac{9}{32})=\frac{-81}{64}\\f(t)\leqslant
f(\frac{1}{4})=\frac{-5}{4} \end{matrix}\right.$ GTNN xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=4xy\\xy=\frac{9}{32} \end{matrix}\right.$ GTLN xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$ $\bullet$ Cách 2: $x+y=4xy\,\,(xy>0)\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{x}=4\Rightarrow $ có ít nhấtm ột trong hai số nhỏ hơn hoặc bằng hai.
Giả sử: $\dfrac{1}{x}\leq2\Rightarrow x\geq\dfrac{1}{2}\Rightarrow 4x-1\neq0\Rightarrow y=\dfrac{x}{4x-1}\\\Rightarrow P=x^2+\dfrac{x^2}{(4x-1)^2}-7\times\dfrac{x^2}{4x-1}=16\left(\dfrac{x^2}{4x-1}\right)^2-9\times\dfrac{x^2}{4x-1}$
Đặt: $t=\dfrac{x^2}{4x-1}\Rightarrow P=f(t)=16t^2-9t$
Xét: $g(x)=t=\dfrac{x^2}{4x-1};\,\,x\in\left[\dfrac{1}{2};\,1\right]$
$g'(x)=\dfrac{4x^2-2x}{(4x-1)^2};\,\,g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
Kẻ bảng biến thiên ta suy ra được $\dfrac{1}{4}\leq t\leq\dfrac{1}{3}.$
Xét: $f(t)=16t^2-9t;\,\,t\in\left[\dfrac{1}{4};\,\dfrac{1}{3}\right]$
$f'(t)=32t-9;\,\,f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{9}{32}$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{5}{4};\,\,f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{11}{9};\,\,f\left(\dfrac{9}{32}\right)=-\dfrac{81}{64}$
Vậy: $GTNN$ của $P$ là $-\dfrac{11}{9}$ tại: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3}\\ y=1 \end{array} \right.\end{array} \right.$
$GTLN$ của $P$ là $-\dfrac{81}{64}$ tại: $\left[
\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{4}\\
y=\dfrac{3}{8} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{8}\\ y=\dfrac{3}{4} \end{array} \right.\end{array} \right.$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Vecto(tt).
|
|
|
|
Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O).$ Tìm $M\in(O)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Vecto.
|
|
|
|
Cho $\Delta ABC$ và một đường thẳng $(\Delta)$. Gọi $S$ là diện tích $\Delta ABC.$ Tìm tập hợp $M$ trong các trường hợp sau:
a) $M\in(\Delta)$ và $\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
b) $\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\times BC=6S$
c) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Hình giải tích phẳng.
|
|
|
|
Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho $A(1;\,2),\,(d_1):x+2y-1=0,$ $(d_2):x+2y+8=0.$ Tìm $B\in (d_1),$ $D\in (d_2)$ và điểm $C$ sao cho $ABCD$ là hình vuông?
|
|
|
|