Cho $a,\,b,\,c>0.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c+\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{a+b+c}$$

Cho hình chóp $S.ABC$ có $\Delta ABC$ vuông tại $B,\,SA\perp(ABC),\,AB=BC=a$, $SB$ tạo với đáy góc $60^o,\,M$ là trung điểm của $AB.$ Tính $d_{\left(B;\,(SMC)\right)}.$

 $\fbox{Tính giúp em bằng hai cách và cho em xin cái hình luôn với nhé.}$
 $\bullet$ Cách 1: giải bằng phương pháp cổ điển hình thuần túy bình thường
 $\bullet$ Cách 2: giải bằng phương pháp gắn tọa độ

Cho $A\left(1;\,2;\,1\right),\,B\left(-2;\,1;\,3\right),\,C\left(2;\,-1;\,1\right),\,D\left(0;\,3;\,1\right).$
   a) Chứng minh $A,\,B,\,C,\,D$ là bốn đỉnh của một tứ diện
   b) Viết phương trình $(P)$ chứa $A,\,B$ sao cho $d_{\left(C;\,(P)\right)}=d_\left({D;\,(P)}\right)$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x\left(\cos4x-\cos2x\right)+\sin2x}{\sin^4x\left(2\cos2x+1\right)}dx$$

Trong không gian $Oxyz,$ cho $\Delta ABC$ có $A\left(1;\,0;\,-1\right),\,B\left(2;\,1;\,-1\right),\,C\left(3;\,1;\,2\right)$ và trực tâm $H\left(x;\,y;\,z\right).$ Tìm tọa độ của $H?$
________________________________________________________________________

Em thì chỉ mới học được bài đầu tiên của SGK Hình học 12 - CB tức là bài $\fbox{Hệ tọa độ trong không gian}$ tức là chỉ nói về các vecto, góc, khoảng cách chứ chưa học gì đến phương trình đường thẳng hay phương trình mặt phẳng đâu, nên mọi người giúp em với, em mới chỉ tìm được có hai phương trình thôi ạ.
Tọa độ $H$ là trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AH}\times\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}\times\overrightarrow{AC}=0 \end{cases}$

Giải phương trình: $$1+\sqrt[3]{x^3-1}=\sqrt{x}$$

Đã có trong Diễn đàn rồi bạn nhé.

Ta có 
$ \dfrac{x^4 + 1}{x^6 + 1}=  \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{x^2 + 1}+  \dfrac{1}{3}.\dfrac{x^2 + 1}{x^4-x^2 + 1}$ 
$ \dfrac{x^4 + 1}{x^6 + 1}=  \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{x^2 + 1}+  \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\left ( \dfrac{x}{1-x^2} \right )^2 + 1}.\dfrac{x^2 + 1}{(x^2-1)^2}$ 
Suy ra 
$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^4 + 1}}{{x^6 + 1}}} dx =\int\limits_0^1 \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{x^2 + 1}dx +\int\limits_0^1  \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\left ( \dfrac{x}{1-x^2} \right )^2 + 1}.d\left ( \dfrac{x}{1-x^2} \right )$ 
$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^4 + 1}}{{x^6 + 1}}} dx =\left[ { \dfrac{2}{3}\arctan x +  \dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{1-x^2}} \right]_0^1 $ 
Đến đây bạn tự thay số vào nhé.

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{\ln3}^{\ln8}\dfrac{xe^x}{\sqrt{e^x+1}}dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{-1}^{0}x^5e^{-x}dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{0}^{1}x\left(e^{2x}+\sqrt[3]{x-1}\right)dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{2}^{3}\dfrac{x^3+3x}{x^4-5x^2+6}dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^5x\cos^2xdx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^6x}{\cos^4x}dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{1}^{e}\dfrac{\ln x+\sqrt{1+\ln x}}{x\sqrt{1+\ln x}}dx$$

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{\ln 3}^{\ln 8}e^x\sqrt{e^x+1}dx$$