Tính tích phân:$$I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{x+2\ln x}{\left(x+2\right)^2}dx$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{1}^{e}\dfrac{\left(x^3+1\right)\ln x+2x^2+1}{2+x\ln x}dx$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{x\left(x\sin x+\sqrt{x}\right)-\sin x}{x-1}dx$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{1}x\left(e^{2x}-\dfrac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\right)dx$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{5+12x+4x^2}}{2x+3}dx$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{1}\left(x-1\right)\sqrt[3]{2x-x^2}dx$$

Cho các số thực dương $a,\,b,\,c.$ Chứng minh rằng:$$\dfrac{2a^2+ab}{\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2}+\dfrac{2b^2+bc}{\left(c+\sqrt{ab}+a\right)^2}+\dfrac{2c^2+ca}{\left(a+\sqrt{bc}+b\right)^2}\ge1$$

Giải phương trình:$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}\right)\left(4x-1\right)=4x+8$$

Tính:$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{7+x^2}}dx$$

Giải hệ phương trình:$$\begin{cases}\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y^2+3}+x+y=5 \\\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y^2+3}-x-y=2 \end{cases}$$

Tính tích phân:$$\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}$$

Tính tích phân:$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{4\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^3}dx$$
Lời giải đã có ở Link này của anh Tân tức dùng ý tưởng $\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)\right]'dx=f(x)\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ và $\int\limits_{a}^{b}\left(u'v+v'u\right)dx=uv\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ nhưng trong cách làm ở khung màu tím anh ấy dùng thủ thuật thế nào để có thể tìm ra $u$ và $v$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}u=\sin2x+1\\v=\sin2x-\cos2x+2 \end{array} \right.$ thì em không hiểu ạ, em thì nghĩ tức là dưới mẫu anh ấy nhận thấy có $\boxed{\sin2x+1}$ nên trên tử phân tích thành $\left(\sin2x+1\right)\times\boxed{v}+\left(\sin2x+1\right)'\times\boxed{v'}$ thì câu hỏi đặt ra ta làm thế nào để tìm $\boxed{v}?$ Em rất mong nhận được sự giải thích cặn kẻ cách tìm ở anh Tân hay các anh khác trên này nếu biết có thể chỉ cho em với ạ, em cảm ơn rất nhiều ạ.

Tính tích phân:$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{4\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^3}dx$$
Lời giải đã có ở Link này của anh Tân tức dùng ý tưởng $\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)\right]'dx=f(x)\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ và $\int\limits_{a}^{b}\left(u'v+v'u\right)dx=uv\left|\begin{array}{l}b\\a\end{array}\right.$ nhưng trong cách làm ở khung màu tím anh ấy dùng thủ thuật thế nào để có thể tìm ra $u$ và $v$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}u=\sin2x+1\\v=\sin2x-\cos2x+2 \end{array} \right.$ thì em không hiểu ạ, em thì nghĩ tức là dưới mẫu anh ấy nhận thấy có $\boxed{\sin2x+1}$ nên trên tử phân tích thành $\left(\sin2x+1\right)\times\boxed{v}+\left(\sin2x+1\right)'\times\boxed{v'}$ thì câu hỏi đặt ra ta làm thế nào để tìm $\boxed{v}?$ Em rất mong nhận được sự giải thích cặn kẻ cách tìm ở anh Tân hay các anh khác trên này nếu biết có thể chỉ cho em với ạ, em cảm ơn rất nhiều ạ.

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx$$