Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm nằm trong tam giác. $H, I, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:

                  $a^{2}\overrightarrow{MA}+b^{2}\overrightarrow{MB}+c^{2}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Cho hai tam giác $ABC$, $A_{1}B_{1}C_{1}$. Đoạn $B_{1}C_{1}$ cắt các đoạn $AB$, $AC$ tại $M$, $N$. Đoạn $C_{1}A_{1}$ cắt các đoạn $BC, BA$ tại $P, Q$. Đoạn $A_{1}B_{1}$ cắt các đoạn $CA, CB$ tại $R, S$. Chứng minh rằng:

           $\frac{BC}{PS}=\frac{CA}{RM}=\frac{AB}{NQ}\Leftrightarrow \frac{B_{1}C_{1}}{NM}=\frac{C_{1}A_{1}}{QP}=\frac{A_{1}B_{1}}{SR}$