Phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{2x}{x-1}= \frac{1}{2}x + m$
$ \Leftrightarrow 2x = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x + mx - m$
$x^{2} -(5 - 2m)x -2m = 0$ (1)
Để hàm số cắt đường thẳng d tai 2 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow $ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
$\Leftrightarrow \begin{cases}\triangle = (5 -2m)^{2} + 8m >0 \\ f_{(1)} \neq 0 \end{cases}$ thỏa mãn $\forall m$
$x_{1}, x_{2} $ là nghiệm phương trình (1), cũng là hoành độ của A,B
$I(x_{I}; 4-2x_{I})$
$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} + x_{2}= 5 - 2m=2x_{I} \\ y_{1} + y_{2}= \frac{1}{2}(x_{1} + x_{2}) + 2m = \frac{5-2m}{2} + 2m= 2(4-2x_{I})\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m=\frac{3}{2} \\ x_{I}= 1 \end{cases}$