Ta có x4 + y4
- 3 = xy(1 - 2xy)
<=> xy + 3 = x4
+ y4 + 2x2y2
<=> xy + 3 = (x2
+ y2)2 (1).
Do (x2 - y2)2
≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥
4(xy)2 với mọi x, y (2).
Từ (1) và (2) ta có :
xy + 3 ≥ 4(xy)2
<=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy) <=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 <=> -3/4\leqt\leq1Vậy : t = xy đạt GTLN
bằng 1 <=> x^{2}=y^{2} và xy=1<=> x = y = 1 ; t
= xy đạt GTNN bằng -3/4 <=> x^{2}=y^{2} và xy=-3/4 <=> x=-y=-căn3/2
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"="">Ta có x4 + y4
- 3 = xy(1 - 2xy)
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"=""><=> xy + 3 = x4
+ y4 + 2x2y2
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"=""><=> xy + 3 = (x2
+ y2)2 (1).
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"="">Do (x2 - y2)2
≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥
4(xy)2 với mọi x, y (2).
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"="">Từ (1) và (2) ta có :
times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"="">xy + 3 ≥ 4(xy)2
<=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy)times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"=""> <=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 <=> 1 ≥ t ≥ -3/4times="" new="" roman","serif";mso-fareast-font-family:"times="" roman";mso-ansi-language:="" fr;mso-fareast-language:en-us;mso-bidi-language:ar-sa"="">Vậy : t = xy đạt GTLN
bằng 1 <=> x2 = y2 và xy=1times="" new="" roman","serif";mso-fareast-font-family:"times="" roman";mso-ansi-language:="" fr;mso-fareast-language:en-us;mso-bidi-language:ar-sa"="">times="" new="" roman","serif";mso-fareast-font-family:"times="" roman";mso-ansi-language:="" fr;mso-fareast-language:en-us;mso-bidi-language:ar-sa"=""><=> x = y = 1 ; t
= xy đạt GTNN bằng -3/4 <=> x2 = y2 và xy=-3/4 <=> x=-y=-căn3/2times="" new="" roman","serif";mso-ansi-language:fr"="">