Viết lại phương trình:$\Leftrightarrow 5sin3x=3sin5x$$\Leftrightarrow 4(sin3x-sin5x)=-sin5x-sin3x$$\Leftrightarrow 8cos4xsin(-x)=-2sin4xcosx$$\Leftrightarrow -8cos4xsinx=-8sinxcosxcos2xcosx$$\Leftrightarrow cos4xsinx=sinxcos2xcos^2x$$\Leftrightarrow sinx(cos4x-cos2xcos^2x)=0$$\Leftrightarrow sinx(2cos^{2}2x-1-cos2x\frac{1+cos2x}{2})=0$$\Leftrightarrow sinx(3cos^22x-cos2x-2)=0$$\Leftrightarrow sinx=0$ hoặc $cos2x=1$ hặc $cos2x=\frac{-2}{3}$$\Leftrightarrow x=k\Pi $ hoặc $x=\frac{1}{2}arccos\frac{-2}{3}+k\Pi $

Viết lại phương trình:$\Leftrightarrow 5sin3x=3sin5x$$\Leftrightarrow 4(sin3x-sin5x)=-sin5x-sin3x$$\Leftrightarrow 8cos4xsin(-x)=-2sin4xcosx$$\Leftrightarrow -8cos4xsinx=-8sinxcosxcos2xcosx$$\Leftrightarrow cos4xsinx=sinxcos2xcos^2x$$\Leftrightarrow sinx(cos4x-cos2xcos^2x)=0$$\Leftrightarrow sinx(2cos^{2}2x-1-cos2x\frac{1+cos2x}{2})=0$$\Leftrightarrow sinx(3cos^22x-cos2x-2)=0$$\Leftrightarrow sinx=0$ hoặc $cos2x=1$ hặc $cos2x=\frac{-2}{3}$$\Leftrightarrow x=k\Pi $ hoặc $x=\pm \frac{1}{2}arccos\frac{-2}{3}+k\Pi $

Đạo hàm của hàm số:$y'=3x^3-8(m-1)x$$y'=0$ Suy ra $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $3x^2-8m+8=0 $ (1)Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm khác 0:$\Delta '=3(8m-8)>0$ Suy ra $m>1$ (thỏa, do m=1 thì (1) mới có nghiệm bằng 0)Vậy $m>1$ thì hàm số có 3 điểm cực trị

Đạo hàm của hàm số:$y'=4x^3-8(m-1)x$$y'=0$ Suy ra $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-2m+2=0 $ (1)Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm khác 0:$\Delta '=(2m-2)>0$ Suy ra $m>1$ (thỏa, do m=1 thì (1) mới có nghiệm bằng 0)Vậy $m>1$ thì hàm số có 3 điểm cực trị

Ta có thể viết phương trình thành:$\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)$$\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC$$\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)$$\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}$$\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0$Thấy rõ: $cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0$ Do nếu $x<y$ ($0<x;y<\pi $) thì $cosx>cosy$. Ở đây ta có $A-B<A+B$Suy ra: $\Rightarrow cosC=0$ hoặc $sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2}$ hoặc $A=B$Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C

Ta có thể viết phương trình thành:$\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)$$\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC$$\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)$$\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}$$\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0$Thấy rõ: $cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0$ (1) Do nếu $x<y$ mà ($0<x;y<\pi$) thì $cos x> cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}$ (2) nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra (1), nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có (2) nên dể dàng suy ra (1)Suy ra: $\Rightarrow cosC=0$ hoặc $sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2}$ hoặc $A=B$Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C

Ta có thể viết phương trình thành$\sqrt{3x+1}=13x-4x^2-5$ (1)Do vế trái (1) luôn là một số không âm nên suy ra $13-4x^2-5 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{13-\sqrt{89}}{8} \leq x\leq \frac{13+\sqrt{89}}{8}$ (Điều kiện)Bình phương hai vế (1) ta có$3x+1=(13x-4x^2-5)^2$$\Leftrightarrow 16x^4-104x^3+209x^2-133x+24=0$$\Leftrightarrow (4x^2-15x+8)(4x^2-11x+3)=0$$\Leftrightarrow 4x^2-15x+8=0$ hoặc $4x^2-11x+3=0$Giải hai phương trình bậc hai trên ta thu được 4 nghiệm: $x=\frac{15\pm \sqrt{97}}{8}$ và $x=\frac{11\pm \sqrt{73}}{8}$Đối chiếu với Điều kiện ở trên suy ra nghiệm cuả phương trình là: $x=\frac{15-\sqrt{97}}{8}$;$x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}$

Phương trình có thể viết lại:$x^2-4x-5=\sqrt{x+5}-2$ (1)Do $\sqrt{x+5}+2$ khác 0 nên ta có(1) $\Leftrightarrow (x+1)(x-5)=\frac{x+5-2^2}{\sqrt{x+5}+2}$$\Leftrightarrow (x+1)(x-5)=\frac{x+1}{\sqrt{x+5}+2}$$\Leftrightarrow (x+1)[(x-5)-\frac{1}{\sqrt{x+5}+2}]=0$Từ đây suy ra $x=-1$ là một nghiệm của phương trìnhXét $(x-5)-\frac{1}{\sqrt{x+5}+2}=0$$\Leftrightarrow (x-5)\sqrt{x+5}=11-2x$ (2)Bình phương phương trình (2) ta thu được phương trình bậc 3. Dùng phương pháp giải phương trình bậc 3 ta thu được nghiệm thỏa (2) là $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$Vậy nghiệm của phương tình là: $x=-1$; $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

Đặt t =$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$ >0 Suy ra $t^{2}$=2+2$\sqrt{(x-1)(3-x)}$ Vì thế t $\geq $$\sqrt{2}$Mặt khác theo Bunhicopxki:t$\leq $$\sqrt{(1+1)(x-1+3-x)}$=2Phương trình trở về:t+$\frac{2-t^{2}}{2}=m$$\Leftrightarrow -t^{2}+2t+2=2m$$\Leftrightarrow t^{2}-2t-2=-2m$Phương trình có nghiệm khi t có nghiệm thuộc [$\sqrt{2};2]$Xét hàm số: f(t)=$\ t^{2}-2t-2$ Đạo hàm f '(t)=2t-2Suy ra f '(t)=0 khi t=1 < $\sqrt{2}$Hàm số đồng biến trên: [$\sqrt{2};2]$Hiển nhiên: $\left\{ \begin{array}{l} Minf(t)=f(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\\Maxf(t)=f(2)=-2 \end{array} \right.$Suy ra -2$\sqrt{2}\leq -2m \leq -2$$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq $ $\sqrt{2}$Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in [1;\sqrt{2}]$ và vô nghiệm khi $m\in R\ [1;\sqrt{2}]$

Đặt t =$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$ >0 Suy ra $t^{2}$=2+2$\sqrt{(x-1)(3-x)}$ Vì thế t $\geq $$\sqrt{2}$Mặt khác theo Bunhicopxki:t$\leq $$\sqrt{(1+1)(x-1+3-x)}$=2Phương trình trở về:t+$\frac{2-t^{2}}{2}=m$$\Leftrightarrow -t^{2}+2t+2=2m$$\Leftrightarrow t^{2}-2t-2=-2m$Phương trình có nghiệm khi t có nghiệm thuộc [$\sqrt{2};2]$Xét hàm số: f(t)=$\ t^{2}-2t-2$ Đạo hàm f '(t)=2t-2Suy ra f '(t)=0 khi t=1 < $\sqrt{2}$Hàm số đồng biến trên: [$\sqrt{2};2]$Hiển nhiên: $\left\{ \begin{array}{l} Minf(t)=f(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\\Maxf(t)=f(2)=-2 \end{array} \right.$Suy ra -2$\sqrt{2}\leq -2m \leq -2$$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq $ $\sqrt{2}$Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in [1;\sqrt{2}]$ và vô nghiệm khi $m\in $R\$ [1;\sqrt{2}]$