Viết lại:
$y(2cos x+3)=sin x +cos x$
$\Leftrightarrow sin x + (1-2y) cos x=3y$
Điều kiện phương trình này có nghiệm là
$1^2+(1-2y)^2\geqslant 9y^2$
$\Leftrightarrow \frac{-2-\sqrt{14}}{5}\leq y\leq\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$

Điều kiện đầu tiên để biểu thức nguyên là: $x\geq 0$
Đặt $A=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$
Dể thấy:
*Với $x=0$ thì $A=0$
*Với $x=1$ thì $A=1$
*Với $x=2;3;4$ thì A không là giá trị nguyên!
Xét $x>4$
Thấy rõ $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3$
Mà $\sqrt{x}>2$; $x-3>1$ do cả hai vế bất đẳng thức dương nên nếu nhân ại ta có: $\sqrt{x}(x-3)>2$
Suy ra: $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3>5$
Do tử thức và mẩu thức là hai số dương, nên để $A$ nguyên thì tử phải lớn hơn hoặc bằng mẩu, tức:
$\sqrt{x}\geq x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3$ Suy ra $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3\leq 0$
Điều này không xảy ra vì: $\sqrt{x}>2$; $x-4>0$ Suy ra $\sqrt{x}(x-4)+3>3$ tức $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3> 3$
Vậy để A nguyên thì: $x=0$ hoặc $x=1$

Với mọi $x$ dương ta luôn có:
$x+(x+1)\geq 2\sqrt{x(x+1)}$ (BĐT Cô si)
Do dấu bằng ở không xảy ra nên ta luôn có:
$x+(x+1)> 2\sqrt{x(x+1)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x+(x+1)}<\frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}}$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+(x+1)}<\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x(x+1)}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
(Do $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}>0$)
Áp dụng điều trên:
$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}<\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}<\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{4}}$
.....
$\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{1}{10}-\frac{1}{2\sqrt{24}}$
Cộng theo vế :
$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$

Hai nghiệm bạn ra được là:
$x=-\frac{\Pi }{9}+k\frac{2\Pi }{3}$ (1)
và $x=\frac{5\Pi }{9}+l\frac{2\Pi }{3}$ (2)
Do l và k là hai số nguyên tùy ý nên nếu chọn $k=l+1$ thế vào (1) thì
$x=-\frac{\Pi }{9}+(l+1)\frac{2\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{9}+\frac{2\Pi }{3}+l\frac{2\Pi }{3}=\frac{5\Pi }{9}+l\frac{2\Pi }{3}$ (3)
Khi đó ta có họ nghiệm (3) giống nghiệm (2). Tức họ nghiệm (1) giống họ nghiệm (2)
Lượng giác được biểu diển nghiệm trên đường tròn lượng giác, các nghiệm đôi khi không giống nhau nhưng chúng trùng nhau trên đường tròn lượng giác.

Viết lại phương trình:
$\Leftrightarrow 5sin3x=3sin5x$
$\Leftrightarrow 4(sin3x-sin5x)=-sin5x-sin3x$
$\Leftrightarrow 8cos4xsin(-x)=-2sin4xcosx$
$\Leftrightarrow -8cos4xsinx=-8sinxcosxcos2xcosx$
$\Leftrightarrow cos4xsinx=sinxcos2xcos^2x$
$\Leftrightarrow sinx(cos4x-cos2xcos^2x)=0$
$\Leftrightarrow sinx(2cos^{2}2x-1-cos2x\frac{1+cos2x}{2})=0$
$\Leftrightarrow sinx(3cos^22x-cos2x-2)=0$
$\Leftrightarrow sinx=0$ hoặc $cos2x=1$ hặc $cos2x=\frac{-2}{3}$
$\Leftrightarrow x=k\Pi$ hoặc $x=\pm \frac{1}{2}arccos\frac{-2}{3}+k\Pi$

Bài 1:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái:
$VT=3(cosB+2sinC)+4(sinB+2cosC)\leq \sqrt{(3^2+4^2)[(cosB+2sinC)^2+(sinB+2cosC)^2]}$
$=5\sqrt{cos^2B+4cosBsinC+4sin^2C+sin^2B+4sinBcosC+4cos^2C}$
$=5\sqrt{(cos^2B+sin^2B)+(4sin^2C+4cos^2C)+4cosBsinC+4sinBcosC}$
$=5\sqrt{5+4(sinBcosC+cosBsinC)}$
$=5\sqrt{5+4sin(B+C)}$
$=5\sqrt{5+4sinA}\leq 5\sqrt{5+4}=15$ (do $sinA\leq 1$)
Thấy rõ: $VT\geq VP$
Dấy bằng ảy ra khi $sinA=1$ tức $A=90$ vậy tam giác ABC vuông tại A

Mình giải bài số 3 nhé:
Ta có, theo bất đẳng thức Cô si dành cho 3 số dương
$x^3+1+1\geq 3x$
$y^3+1+1\geq 3y$
$z^3+1+1\geq 3z$
Cộng theo vế suy ra:
$x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)$
$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq (x+y+z)+2(x+y+z)-6$ (1)
Theo bấtđẳng thức cô si
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$ (do $xyz=1$)
$\Leftrightarrow 2(x+y+z)\geq 6$
$\Leftrightarrow x+y+z+2(x+y+z)-6\geq x+y+z-6+6$
$\Leftrightarrow x+z+y+2(x+y+z)-6\geq x+y+z$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z$ (với $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Đạo hàm của hàm số:
$y'=4x^3-4(m+1)$
$y'=0$ Suy ra $x=0$ hoặc $x^2=m+1$(1)
Để hàm số có ba điểm cực trị thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0
Suy ra $m>-1$
Xét các điểm
$A(0;m)$ ; $B(-\sqrt{m+1};y)$; $C(\sqrt{m+1};y)$
( Do hàm số trùng phương nên B và C có cùng tung độ)
Theo giả thuyết
$OA=BC$
$\Leftrightarrow \sqrt{m^2}=\sqrt{(2\sqrt{m+1})^2}$
$\Leftrightarrow m^2=4(m+1)$
$\Leftrightarrow m=2\pm 2\sqrt{2}$ (thoải $m>-1$)
Vậy $m=2\pm 2\sqrt{2}$ là điểm cần tìm

Đạo hàm của hàm số:
$y'=4x^3-8(m-1)x$
$y'=0$ Suy ra $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^2-2m+2=0$ (1)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm khác 0:
$\Delta '=(2m-2)>0$
Suy ra $m>1$ (thỏa, do m=1 thì (1) mới có nghiệm bằng 0)
Vậy $m>1$ thì hàm số có 3 điểm cực trị

Đạo hàm của hàm số y:
$y'=8mx^3-2x=2x(4mx^2-1)$
$y'=0\Rightarrow x=0$ hoặc $4mx^2-1=0$
Để hàm số có ba điểm cực trị thì $m>0$
Khi đó ta có hoành độ ba điểm cực trị của hàm số là:
$-\frac{1}{2\sqrt{m}};0;\frac{1}{2\sqrt{m}}$
Dể thấy: $-\frac{1}{2\sqrt{m}}<0<\frac{1}{2\sqrt{m}}$
Mặt khác đây là hàm số trùng phương nên hai điểm cực tiểu là:
$A(-\frac{1}{2\sqrt{m}};y)$ và $B(\frac{1}{2\sqrt{m}};y)$
(Do đây là hàm số trùng phương nên hàm đối ứng qua trục tung Oy nên A và B có tung độ gống nhau)
Độ dài AB:
$AB=\sqrt{(\frac{1}{2\sqrt{m}}+\frac{1}{2\sqrt{m}})^2}=5$
$\Rightarrow m=\frac{1}{25}>0$
Vậy $m=\frac{1}{25}$ là điểm cần tìm

Giả sử $x$ là nghiệm của $x=\frac{1}{0}$ Suy ra $0x=1$ không có giá trị x nào thỏa mản nên suy ra $\frac{1}{0}$ không tồn tại. Tương tự ta cũng có thể chứng minh các trường hợp còn lại.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có thể viết phương trình lại thành:

Điều kiện $x\neq -2;-5,6$
Phương trình có thể viết lại
$\frac{x-1}{x+2}+\frac{6-2x}{x+5}+\frac{x-5}{x-6}=0$
$\Leftrightarrow \frac{(x+2)-3}{x+2}+\frac{16-2(x+5)}{x+5}+\frac{(x-6)+1}{x-6}$
$\Leftrightarrow 1-\frac{3}{x+2}-2+\frac{16}{x+5}+1+\frac{1}{x-6}=0$
$\Leftrightarrow \frac{-3}{x+2}+\frac{16}{x+5}+\frac{1}{x-6}=0$
$\Leftrightarrow -3(x+5)(x-6)+16(x+2)(x-6)+(x+2)(x+5)=0$
$\Leftrightarrow -3(x^2-x-30)+16(x^2-4x-12)+(x^2+7x+10)=0$
$\Leftrightarrow  14x^2-54x-92=0$
$\Leftrightarrow  x=\frac{27\pm \sqrt{2017}}{14}$ (thỏa điều kiện)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết