cho hinh hop $abcd.a'b'c'd'.$Tren canh $AC'$ lay diem $M$ sao cho $MC'=3MA$.Mot duong thang $d$ qua $M$ cat $A'B'$ va $BC$ lan luot tai $F,E$.Tinh ti so $A'F/A'B'$

Cho  $x,y>0$  thoả  mãn  $x^{2}+y^{2}+xy=12 $ .   Tìm   max  $S=x+y$ 

$ Giải phương trình.$
$\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-2x+1$ 

Cho  hai  số  $x,y$  thay  đổi  thỏa  mãn   $x+y+xy=x^{2} +y^{2}$.Tim  Min
$P=x^{3}+y^{3}+ x^{2} +y^{2}-6(x+y)$.

Điều kiện $x \ge 0.$ BPT 
$\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$
BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé 
$\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[]{x^3}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$
Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si  ta có 
$8\sqrt[]{x^3}+4\sqrt{x} \ge 2\sqrt[]{8\sqrt[]{x^3}.4\sqrt{x}}=2\sqrt[]{32x^2} =8\sqrt 2 x \ge 11x$
$4x^2+1 \ge 2\sqrt[]{4x^2.1}=4x$
Suy ra 
$8\sqrt[]{x^3}+4x^2+4\sqrt{x}+1 \ge 15x$
và dễ kiểm tra dấu bằng không xảy ra vì hpt $ \begin{cases}8\sqrt[]{x^3}=4\sqrt{x} \\ 4x^2=1\\8\sqrt 2 x = 11x \end{cases}$ vô nghiệm.
Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.
Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$.TRAN MINH TAN

$Vì x,y,z  là  độ  dài  3  cạnh  tam  giác  nên  :1-\frac{x}{y+z},1-\frac{y}{x+z},1-\frac{z}{x+y}\geq 0Ta Có:$
$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}} +\sqrt{1-\frac{y}{x+z}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}\leq \frac{1-\frac{x}{y+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{y}{x+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{z}{x+y}+1}{2}$
$Hay  2P \leq 6-(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$
$ Đặt A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$
$Ta có:Áp  dụng  hệ  quả   bđt  Bunhiacopxi $
$Ta có :A\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}$
$Mà  \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}.Dễ  dàng  chứng  minh  thôi  nhân  chéo  là  ra $
$Suy ra  A\geqslant \frac{3}{2} $
$Nên P \leq\frac{6-\frac{3}{2}}{2}$$<=>P\leq \frac{9}{4}$
 $Dấu  ''=''  xảy  ra  khi  x=y=z.Hay  tam  giác  đó  đều $
$Vậy max P=\frac{9}{4}   Khi  tam  giác  đều $