cho hinh hop $abcd.a'b'c'd'.$Tren canh $AC'$ lay diem $M$ sao cho $MC'=3MA$.Mot duong thang $d$ qua $M$ cat $A'B'$ va $BC$ lan luot tai $F,E$.Tinh ti so $A'F/A'B'$

Cho  $x,y>0$  thoả  mãn  $x^{2}+y^{2}+xy=12 $ .   Tìm   max  $S=x+y$ 

$ Giải phương trình.$
$\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-2x+1$ 

Cho  hai  số  $x,y$  thay  đổi  thỏa  mãn   $x+y+xy=x^{2} +y^{2}$.Tim  Min
$P=x^{3}+y^{3}+ x^{2} +y^{2}-6(x+y)$.

Điều kiện $x \ge 0.$ BPT 
$\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$
BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé 
$\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[]{x^3}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$
Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si  ta có 
$8\sqrt[]{x^3}+4\sqrt{x} \ge 2\sqrt[]{8\sqrt[]{x^3}.4\sqrt{x}}=2\sqrt[]{32x^2} =8\sqrt 2 x \ge 11x$
$4x^2+1 \ge 2\sqrt[]{4x^2.1}=4x$
Suy ra 
$8\sqrt[]{x^3}+4x^2+4\sqrt{x}+1 \ge 15x$
và dễ kiểm tra dấu bằng không xảy ra vì hpt $ \begin{cases}8\sqrt[]{x^3}=4\sqrt{x} \\ 4x^2=1\\8\sqrt 2 x = 11x \end{cases}$ vô nghiệm.
Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.
Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$.TRAN MINH TAN

$Vì x,y,z  là  độ  dài  3  cạnh  tam  giác  nên  :1-\frac{x}{y+z},1-\frac{y}{x+z},1-\frac{z}{x+y}\geq 0Ta Có:$
$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}} +\sqrt{1-\frac{y}{x+z}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}\leq \frac{1-\frac{x}{y+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{y}{x+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{z}{x+y}+1}{2}$
$Hay  2P \leq 6-(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$
$ Đặt A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$
$Ta có:Áp  dụng  hệ  quả   bđt  Bunhiacopxi $
$Ta có :A\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}$
$Mà  \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}.Dễ  dàng  chứng  minh  thôi  nhân  chéo  là  ra $
$Suy ra  A\geqslant \frac{3}{2} $
$Nên P \leq\frac{6-\frac{3}{2}}{2}$$<=>P\leq \frac{9}{4}$
 $Dấu  ''=''  xảy  ra  khi  x=y=z.Hay  tam  giác  đó  đều $
$Vậy max P=\frac{9}{4}   Khi  tam  giác  đều $

$Tìm x  thỏa  mãn  Bp t:$
$8.x^{3} +76x.\sqrt{x} +1 \geq 58.x^{2}+29x$

$Ta có:a^{2}.\sqrt{bc}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}$
$b^{2}.\sqrt{ac}\leq b^{2}.\frac{a+c}{2}$ 
 $c^{2}.\sqrt{ab}\leq c^{2}.\frac{a+b}{2}$ 
$Suy ra:$
 $a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}+ b^{2}.\frac{a+c}{2}+c^{2}.\frac{a+b}{2}$
$<=> a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq \frac{ab.(a+b)}{2}+\frac{bc.(b+c)}{2}+\frac{c.a(c+a)}{2}(*)$
$Biến  đổi  tương  đương  dễ  dàng  chứng  minh: ab.(a+b)\leq a^{3}+b^{3} ,bc.(b+c) \leq c^{3}+b^{3},ca.(c+a) \leq a^{3}+c^{3}(**)$
$Từ(*)   và  (**) Suy ra : a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{3}+b^{3}+ c^{3}$

$Với  a,b,c>0,abc=1.Chứng minh$
$\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\geq\frac{3}{2}$

$Cho x,y,z,  ko  âm  thỏa  mãn  xyz=1.$
$Cmr:(x+y).(y+z).(z+x) \geq \frac{8}{3}.(x+y+z)$
 

V$ới x,y,z>0.thỏa mãn \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} =2 $
$Cm.xyz \leq\frac{1}{8}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện:$x\geq 1$,Đặt $\sqrt{3x-2} + \sqrt{x-1} =a(a\geqslant 0)$
Suy ra:$a^2=4x-3 +2 \sqrt{3x^{2}-5x+2}^{}$ 
<=>$a^{2}-6=4x-9+ 2 \sqrt{3x^{2}-5x+2}^{}$ 
$Từ  đề  bài  ta  có$ $:a^{2} -a -6=0.$
$Suy ra:a=-2  hoặc  a=3.$
$Vì  a\geq0  nên  a=3.$
$Suy ra:$$\sqrt{3x-2} +\sqrt{x-1}=3$
$<=>$ $3x-2 + x-1 +2\sqrt{3x^{2}-5x+2}=9$
$<=>$ $ \sqrt{3x^{2}-5x+2}=6-2x$
$<=>$ $ 3x^{2}-5x+2=4x^{2}-24x+36(1) và x\leq3(2)$
$(1)$ $<=>$ $x^{2}-19x+34=0$
$<=>$$x=17(Không thỏa mãn 2) hoặc x=2(Thỏa mãn) $
$ Vậy  phương  trình  đã  cho  có  nghiệm  x=2 $

Với $a,b,c>0$.Và $abc=1$. Chứng minh rằng:  $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)} \geq  1   $