$Tìm x  thỏa  mãn  Bp t:$
$8.x^{3} +76x.\sqrt{x} +1 \geq 58.x^{2}+29x$

$Ta có:a^{2}.\sqrt{bc}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}$
$b^{2}.\sqrt{ac}\leq b^{2}.\frac{a+c}{2}$ 
 $c^{2}.\sqrt{ab}\leq c^{2}.\frac{a+b}{2}$ 
$Suy ra:$
 $a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}+ b^{2}.\frac{a+c}{2}+c^{2}.\frac{a+b}{2}$
$<=> a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq \frac{ab.(a+b)}{2}+\frac{bc.(b+c)}{2}+\frac{c.a(c+a)}{2}(*)$
$Biến  đổi  tương  đương  dễ  dàng  chứng  minh: ab.(a+b)\leq a^{3}+b^{3} ,bc.(b+c) \leq c^{3}+b^{3},ca.(c+a) \leq a^{3}+c^{3}(**)$
$Từ(*)   và  (**) Suy ra : a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{3}+b^{3}+ c^{3}$

$Với  a,b,c>0,abc=1.Chứng minh$
$\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\geq\frac{3}{2}$