Bài này mình đọc lời giải nhưng không hiểu lắm. Mọi người giải thích kĩ giúp mình với.

$I=\int\limits_{0}^{\pi}xsinxcos^{2}xdx$
Đặt: $x=\pi-t\Rightarrow dx=-dt$. Khi: $\begin{cases}x=0\Rightarrow t=\pi \\ x=\pi\Rightarrow t=0 \end{cases}$
 Ta có:
$I=\int\limits_{\pi}^{0}(\pi-t)sin(\pi-t)cos^{2}(\pi-t)(-dt)=\int\limits_{0}^{\pi}(\pi-t)sintcos^{2}tdt$
$=\int\limits_{0}^{\pi}(\pi)sintcos^{2}tdt-\int\limits_{0}^{\pi}tsintcos^{2}tdt$  (1)
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi}(\pi)sinxcos^{2}xdx-\int\limits_{0}^{\pi}xsinxcos^{2}xdxx$ .
Mình không hiểu tại sao từ 1 có thể suy ra được biểu thức này.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Goi (C) la duong tron tam $I(-2;0)$; ban kinh $R=IA=\sqrt{74}$
Phuong trinh duong tron (C): $(x+2)^{2}+y^{2}=74$
Phuong trinh AH: $x=3$. Vi $AH\veebar BC$ nen phuong trinh BC co dang: $y=m (m\neq -7) $do BC khong di qua A.
Do do hoanh do B; C thoa man phuong trinh:
   $ (x+2)^{2} +m^{2}=74\Leftrightarrow x^{2}+4x+m^{2}-70=0(1)$. Phuong trinh (1) co 2 nghiem phan biet, trong do co it nhat 1 nghiem duong khi $\left| {a} \right|<\sqrt{74}$.
Do C co hoah do duog nen $B(-2-\sqrt{74-a^{2}};a); C(-2+\sqrt{74-a^{2}};a)$
Do $AC\veebar BH$ ,suy ra: $\overrightarrow{AC}\overrightarrow{BH}=0\Leftrightarrow a^{2}+4a-21=0\Leftrightarrow a=-7(loai)$ hoac $a=3(tm)$
 Vay: $C(\sqrt{65}-2;3)$

a) Vi can tim m de phuong trinh da cho co 4 nghiem lap thanh 1 cap so cong nen gia su 4 nghiem phan biet do la: $x-3d; x-d; x+d; x+3d$ voi d la cong sai.
Ap dung dinh ly Vi-et doi voi phuong trinh bac 4, ta co:
\begin{cases}x=0 \\ d^{2}=\frac{m+1}{5}>0\Leftrightarrow m>-1\\9d^{4}=2m+1 \end{cases}$ \Rightarrow9m^{2}-32m-16=0\Leftrightarrow .$ m=4$ hoac $$m=\frac{-4}{9}$ (loai)
Thay $m=4$ vao phuong trinh da cho thay thoa man. Vay $m=4$ 

b) Phuong trinh da cho tuong duong voi phuong trinh
            $x^{4}-1+2(m+1)-2(m+1)x^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-1)(x^{2}+1)-2(m+1)(x^{2}-1)=0$ 
$\Leftrightarrow (x^{2}-1)(x^{2}-2m-1)=0$ 
$\Leftrightarrow x=-1; x=1; x^{2}=2m+1(1)$
De phuong trinh da cho co 3 nghiem phan biet lap thanh1 CSC thi (1) phai $\Leftrightarrow 2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$
 

Phuong trinh hoanh do giao diem cua do thi ham so da cho va truc hoanh la:
                                           $x^{3}-3x^{2}+9x+m=0$ (1)
Theo de bai; (1) phai co 3 nghiem phan biet lap thanh mot cap so cong, gia su 3 nghiem do la: $x-d; x; x+d$.
Theo dinh ly Vi-et voi phuong trinh bac 3 ta co:
       \begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=9\\x_{1}x_{2}x_{3}=-m \end{cases}
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ d^{2}=-7\\1-d^{2}=-m \end{array} \right. $ $\Rightarrow  $ He vo nghiem. Vay khong ton tai m thoa man de bai
 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b) $\int\limits_{0}^{\pi}sinxsin3xsin5xdx=\frac{1}{2}(\int\limits_{0}^{\pi}sin5xcos2xdx-\int\limits_{0}^{\pi}sin5xcos4xdx)$
=$\frac{1}{4}(\int\limits_{0}^{\pi}sin7xdx+\int\limits_{0}^{\pi}sin3xdx-\int\limits_{0}^{\pi}sin9xdx-\int\limits_{0}^{\pi}sinxdx)$ 
Den day cung la dang tich phan co ban. 

a) $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{2x^{2}+5x+2}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{(x+\frac{5}{4})^{2}-\frac{9}{16}}dx$
Dat: $x+\frac{5}{4}=t\Rightarrow dx=dt$. Doi can: $x=0\Rightarrow t=\frac{5}{4}$ ; $x=1\Rightarrow t=\frac{9}{4}$.
Ta thu duoc tich phan moi:
 $\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}}\frac{1}{t^{2}-\frac{9}{16}}dt=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}}\frac{1}{t-\frac{3}{4}}dt-\int\limits_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}}\frac{1}{t+\frac{3}{4}}dt$. Den day la tich phan co ban. 

1. $9^{-x+\frac{1}{2}}-7x^{-3}+\frac{11}{4}<0$