Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Từ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2 \Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=4$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4$
Vì  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2 \Rightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=2$
$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1 \Rightarrow  \frac{a+b+c}{abc}=1 \Rightarrow a+b+c=abc$ (ĐPCM) 

Hì, trước hết ta có công thức $r=\frac{S}{P}$
Dễ thấy $S_{ACG}=S_{AMC}/3$
Đặt $AM=a, CM=b$, N là trung điểm MC, P là trung điểm MA
Dễ thấy tam giác AMC vuông tại M Đặt AC=2R
Gọi r là bán kính đường tòn nội tiếp tam giác AGC.
Ta có $r=\frac{2S_{ACG}}{AG+CG+AC}=\frac{\frac{2}{3}S_{AMC}}{2/3AN+2/3CP+AC}=\frac{2S_{AMC}}{2AN+2CP+3AC}$ 
$=\frac{ab}{2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}+3\sqrt{a^2+b^2}}$
Áp dụng bdt cô si:  
$2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}+3\sqrt{a^2+b^2}$
$\geq 2\sqrt{\frac{4a^2}{4}+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{\frac{4b^2}{4}+\frac{a^2}{4}}+2\sqrt{2ab}\geq \sqrt{5}(a^4b)^{1/5}+\sqrt{5}(b^4a)^{1/5}+2\sqrt{2ab}$
$\geq 2\sqrt{5ab}+2\sqrt{2ab}=\sqrt{ab}(2\sqrt{5}+2\sqrt{2})$
Từ đây suy ra $r\leq \frac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}\leq\frac{\sqrt{(a^2+b^2)/2}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2R^2}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}R}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}$   
Ta đã giải quyết xong bài toán 

a, $a^{2}+8bc=(2b+c)^{2}$ .
CM:
Vì $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng nên $b=\frac{a+c}{2}$
Vậy ra có $a^2+8bc=a^2+4(a+c)c=a^2+4ac+4c^2=(a+2c)^2=((a+c)+c)^2=(2b+c)^2$
Vậy => ĐPCM

b, $a^{2}+ab+b^{2}, a^{2}+ac+c^{2}, b^{2}+bc+c^{2}$  lập thành một cấp số cộng
Để chứng minh 3 số này tạo thành CSC
Ta sẽ chứng minh $(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=2(a^2+ac+c^2)$
Thật vậy, điều này <=> $ab+2b^2+bc=a^2+2ac+c^2 \Leftrightarrow 2b^2+b(a+c)=(a+c)^2$
$\Leftrightarrow 2b^2+b.2b=(a+c)^2$ (vì a+c=2b) $\Leftrightarrow 4b^2=(a+c)^2$
Điều này đúng vì $a+c=2b$
Vậy => ĐPCM

Nếu $a=0$ suy ra $x=1$ không thỏa mãn $x<1$
Vậy xét $a\neq 0$
Từ pt thứ nhất => $ax+a^2y=a$
cộng theo vế với pt thứ 2 => $y(a^2+1)=2a \Rightarrow y=\frac{2a}{a^2+1}$
Theo bất đẳng thức cauchy thì $-1=\frac{-a^2-1}{a^2+1}\leq \frac{2a}{a^2+1} \leq\frac{a^2+1}{a^2+1}=1$
Vậy để y<1 thì $2a\neq a^2+1 \Leftrightarrow a\neq 1$
Lúc này $x=1-ay=1-\frac{2a^2}{1+a^2}=\frac{1-a^2}{1+a^2}$
Nếu $1-a^2\leq 0 \Leftrightarrow |a|\geq1$ thì $x\leq0 <1$
Nếu $1-a^2>0$ khi đó $x<1\Leftrightarrow \frac{1-a^2}{1+a^2}<1 \Leftrightarrow 1-a^2<1+a^2 \Leftrightarrow a^2>0$ (Đúng vì $a\neq 0$)
Vậy tổng kết lại ta có điều kiện để $x,y<1$ là $a\neq 0, a\neq 1$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết