Đặt $a=x+5$
Phương trình đã cho trở thành $f(a)=a^4+(a-2)^4-2=0$ 
hay $f(a)=2a^4-8a^3+24a^2-32a+14=0$
Từ $f(1)=0$ suy ra f có 1 nghiệm là 1, ta phân tích được $f(a)=(a-1)^2(a^2-2a+7)$
Vậy $a=1$ suy ra $x+5=1$ hay $x=-4$ 

a) Ta có:
$2u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\Rightarrow 2(u_{n+1}-u_n)=-(u_n-u_{n-1})\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{-(u_n-u_{n-1})}{2}$ 
Hay $v_{n+1}=(\frac{-1}{2})v_n$ Vậy $v_n$ tạo thành một cấp số nhân với công sai bằng $\frac{-1}{2}$ 

b) Ta có $v_2=u_2-u_1=1$
 Ta lại có $v_k=(\frac{-1}{2})^{k-2}v_2$ (Vì {$v_n$} là 1 CSN ) $= (\frac{-1}{2})^{k-2}$
Vậy:
$u_n-u_{n-1} =v_n= (\frac{-1}{2})^{n-2}$
$u_{n-1}-u_{n-2} =v_{n-1}= (\frac{-1}{2})^{n-3}$ 
.......
$u_3-u_2=(\frac{-1}{2})$ 
$u_2-u_1=1$
Cộng theo vế và triệt tiêu số giống nhau ta được:
$u_n-u_1=(\frac{-1}{2})^{n-2}+(\frac{-1}{2})^{n-3}+...+(\frac{-1}{2})+1=\frac{(\frac{-1}{2})^{n-1}-1}{(\frac{-1}{2})-1}=\frac{(-2)((\frac{-1}{2})^{n-1}-1)}{3}$
Vậy $u_n=\frac{(-2)(\frac{-1}{2})^{n-1}+2}{3}+1=\frac{(-2)(\frac{-1}{2})^{n-1}+5}{3}$ 
 
c) Từ phần b, ta thấy:
$u_1+u_2+...+u_{10}=(-2)\frac{(\frac{-1}{2})^{0}+(\frac{-1}{2})^{1}+...+(\frac{-1}{2})^{9}}{3}+10\frac{5}{3}=(-2)\frac{(\frac{-1}{2})^{10}-1}{3((\frac{-1}{2})-1)}+\frac{50}{3}$  

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bạn nhân liên hợp thế này nhé:
$\frac{sin\frac{\phi}{2}-icos\frac{\phi}{2}}{cos\frac{\phi}{2}+isin\frac{\phi}{2}}=\frac{(sin\frac{\phi}{2}-icos\frac{\phi}{2})(cos\frac{\phi}{2}-isin\frac{\phi}{2})}{(cos\frac{\phi}{2}+isin\frac{\phi}{2})(cos\frac{\phi}{2}-isin\frac{\phi}{2})}$ 
$=\frac{sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}-i(sin^2\frac{\phi}{2}+cos^2\frac{\phi}{2})+i^2sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}}{cos^2\frac{\phi}{2}-i^2sin^2\frac{\phi}{2}}$ 
$=\frac{sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}-i(sin^2\frac{\phi}{2}+cos^2\frac{\phi}{2})-sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}}{cos^2\frac{\phi}{2}+sin^2\frac{\phi}{2}}=-i$  

Bài 2:
a) Ta có:
$u_n=3u_{n-1}+10$
 $3u_{n-1}=3^2u_{n-2}+10.3$
$3^2u_{n-2}=3^3u_{n-3}+10.3^2$
................
$3^{n-2}u_2=3^{n-1}u_1+10.3^{n-2}$ 
Cộng theo vế và triệt tiêu những số giống nhau ta được:
$u_n=3^{n-1}u_1+10(3^{n-2}+...+3+1)=3^{n-1}+10\frac{3^{n-1}-1}{3-1}$
$=3^{n-1}+5(3^{n-1}-1)=2.3^{n}-5$
P/s: Mình chỉ ra cách xây dựng để bạn thấy tại sao lại có công thức đó, nếu chỉ chứng minh đơn thuần thì bạn dùng quy nạp sẽ ra ngay

b) Dãy số này tăng vì $u_{n+1}=2.3^{n+1}-5>2.3^n-5=u_n$
Dãy số này không bị chặn, vì với mỗi q thuộc N
Chọn $n>\log_{3} \frac{q-5}{2}$ thì $u_n=2.3^n-5>q$
 

Bài 1:
b) Ta có $A=n(2n^2-3n+1)=n(2n-1)(n-1)$
Trong 2 số n và n-1 có 1 số chắn nên A chia hết cho 2 (1)
Nếu n=3k thì A chia hết cho 3
Nếu n=3k+1 thì n-1=3k chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 
Nếu n=3k-1 thì 2n-1=6k-3 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
Vậy ta có A chia hết cho 3 (2) 
Từ (1) và (2), do (2,3)=1 nên A chia hêt cho 6 

Bài 1.
a) Với n=1, ta thấy DDPCM đúng
Giả sử ĐPCM đúng với n=k, hay
$1.2+2.5+3.8+...+k(3k-1)=k^2(k+1)$
Ta chứng minh với n=k+1 thì ĐPCM vẫn đúng, hay
$1.2+2.5+3.8+...+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)^2(k+2)$
Thật vậy theo gtqn thì: 
$1.2+2.5+3.8+...+(k+1)(3(k+1)-1)$
$=1.2+2.5+3.8+...k(3k-1)+(k+1)(3(k+1)-1)$
$=k^2(k+1)+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)(k^2+3k+2)=(k+1)^2(k+2)$
 Vậy với n=k+1 ĐPCM đúng.
=> Với mọi n ta có ĐPCM