|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
a) Ta có: $2u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\Rightarrow 2(u_{n+1}-u_n)=-(u_n-u_{n-1})\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{-(u_n-u_{n-1})}{2}$ Hay $v_{n+1}=(\frac{-1}{2})v_n$ Vậy $v_n$ tạo thành một cấp số nhân với công sai bằng $\frac{-1}{2}$
b) Ta có $v_2=u_2-u_1=1$ Ta lại có $v_k=(\frac{-1}{2})^{k-2}v_2$ (Vì {$v_n$} là 1 CSN ) $= (\frac{-1}{2})^{k-2}$ Vậy: $u_n-u_{n-1} =v_n= (\frac{-1}{2})^{n-2}$ $u_{n-1}-u_{n-2} =v_{n-1}= (\frac{-1}{2})^{n-3}$ ....... $u_3-u_2=(\frac{-1}{2})$ $u_2-u_1=1$ Cộng theo vế và triệt tiêu số giống nhau ta được: $u_n-u_1=(\frac{-1}{2})^{n-2}+(\frac{-1}{2})^{n-3}+...+(\frac{-1}{2})+1=\frac{(\frac{-1}{2})^{n-1}-1}{(\frac{-1}{2})-1}=\frac{(-2)((\frac{-1}{2})^{n-1}-1)}{3}$ Vậy $u_n=\frac{(-2)(\frac{-1}{2})^{n-1}+2}{3}+1=\frac{(-2)(\frac{-1}{2})^{n-1}+5}{3}$ c) Từ phần b, ta thấy: $u_1+u_2+...+u_{10}=(-2)\frac{(\frac{-1}{2})^{0}+(\frac{-1}{2})^{1}+...+(\frac{-1}{2})^{9}}{3}+10\frac{5}{3}=(-2)\frac{(\frac{-1}{2})^{10}-1}{3((\frac{-1}{2})-1)}+\frac{50}{3}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau:
|
|
|
Bạn nhân liên hợp thế này nhé: $\frac{sin\frac{\phi}{2}-icos\frac{\phi}{2}}{cos\frac{\phi}{2}+isin\frac{\phi}{2}}=\frac{(sin\frac{\phi}{2}-icos\frac{\phi}{2})(cos\frac{\phi}{2}-isin\frac{\phi}{2})}{(cos\frac{\phi}{2}+isin\frac{\phi}{2})(cos\frac{\phi}{2}-isin\frac{\phi}{2})}$ $=\frac{sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}-i(sin^2\frac{\phi}{2}+cos^2\frac{\phi}{2})+i^2sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}}{cos^2\frac{\phi}{2}-i^2sin^2\frac{\phi}{2}}$ $=\frac{sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}-i(sin^2\frac{\phi}{2}+cos^2\frac{\phi}{2})-sin\frac{\phi}{2}cos\frac{\phi}{2}}{cos^2\frac{\phi}{2}+sin^2\frac{\phi}{2}}=-i$
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
Bài 2: a) Ta có: $u_n=3u_{n-1}+10$ $3u_{n-1}=3^2u_{n-2}+10.3$ $3^2u_{n-2}=3^3u_{n-3}+10.3^2$ ................ $3^{n-2}u_2=3^{n-1}u_1+10.3^{n-2}$ Cộng theo vế và triệt tiêu những số giống nhau ta được: $u_n=3^{n-1}u_1+10(3^{n-2}+...+3+1)=3^{n-1}+10\frac{3^{n-1}-1}{3-1}$ $=3^{n-1}+5(3^{n-1}-1)=2.3^{n}-5$ P/s: Mình chỉ ra cách xây dựng để bạn thấy tại sao lại có công thức đó, nếu chỉ chứng minh đơn thuần thì bạn dùng quy nạp sẽ ra ngay b) Dãy số này tăng vì $u_{n+1}=2.3^{n+1}-5>2.3^n-5=u_n$ Dãy số này không bị chặn, vì với mỗi q thuộc N Chọn $n>\log_{3} \frac{q-5}{2}$ thì $u_n=2.3^n-5>q$
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
Bài 1: b) Ta có $A=n(2n^2-3n+1)=n(2n-1)(n-1)$ Trong 2 số n và n-1 có 1 số chắn nên A chia hết cho 2 (1) Nếu n=3k thì A chia hết cho 3 Nếu n=3k+1 thì n-1=3k chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 Nếu n=3k-1 thì 2n-1=6k-3 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 Vậy ta có A chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2), do (2,3)=1 nên A chia hêt cho 6
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
Bài 1. a) Với n=1, ta thấy DDPCM đúng Giả sử ĐPCM đúng với n=k, hay $1.2+2.5+3.8+...+k(3k-1)=k^2(k+1)$ Ta chứng minh với n=k+1 thì ĐPCM vẫn đúng, hay $1.2+2.5+3.8+...+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)^2(k+2)$ Thật vậy theo gtqn thì: $1.2+2.5+3.8+...+(k+1)(3(k+1)-1)$ $=1.2+2.5+3.8+...k(3k-1)+(k+1)(3(k+1)-1)$ $=k^2(k+1)+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)(k^2+3k+2)=(k+1)^2(k+2)$ Vậy với n=k+1 ĐPCM đúng. => Với mọi n ta có ĐPCM
|
|
|
giải đáp
|
toán đai 11
|
|
|
Bài 2 3 số đó là số hạng thứ 1, thứ 4, thứ 25 của một cấp số cộng nên gọi 3 số là $u_1,u_1+3d,u_1+24d$ Theo giả thiết thì $u_1+(u_1+3d)+(u_1+24d)=114$ => $3u_1+27d=114$ => $u_1+9d=38$ (1) Và 3 số này là 1 CSN nên $u_1(u_1+24d)=(u_1+3d)^2$ => $u_1^2+24du_1=u_1^2+6du_1+9d^2$ => $18du_1=9d^2$ => $d=0$ hoặc $d=2u_1$ Nếu $d=0$ Từ (1) => $u_1=38$ 3 số cần tìm đều bằng 38 Nếu $d=2u_1$ Từ (1) => $19u_1=38$ => $u_1=2$ => $d=4$ 3 số là 2, 14 và 98
|
|
|
giải đáp
|
toán đai 11
|
|
|
Bài 1. Ta có $u_6=q^5u_1,u_4=q^3u_1,u_3=q^2u_1$ Thay vào 2 biểu thức ban đầu thì $\begin{cases}q^5u_1-q^3u_1=432 \\ q^2u_1-u_1=16 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}q^3(q^2-1)u_1=432 \\ (q^2-1)u_1=16 \end{cases} $ Chia theo vế ta được $q^3=27\Rightarrow q=3$ Từ đây tìm được $u_1=\frac{16}{8}=2$
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ thức Vi-ét
|
|
|
Đặt: $x_1=\sqrt[5]{3},x_2=\frac{-2}{\sqrt[5]{3}}$ Ta có $a=x_1+x_2,x_1x_2=-2$ Ta có $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)=a((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=a(a^2+6)$
Lại có: $x_1^5+x_2^5=-23/3=(x_1+x_2)(x_1^4+x_2^4)-x_1x_2(x_1^3+x_2^3)$ $=a(x_1^4+x_2^4)+2(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)=a(x_1^4+x_2^4)+2a((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$ $=a((x_1+x_2)(x_1^3+x_2^3)-x_1x_2(x_1^2+x_2^2))+2a(a^2+6)$ $=a(a^2(a^2+6)+2(a^2+4)+2(a^2+6))=a(a^4+10a^2+20)$ Vậy $3a^5+30a^3+60a+23=0$ Đây là phương trình cần tìm
|
|
|
|
giải đáp
|
Rút gọn biểu thức.
|
|
|
Bài 2) ta có $n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$ Vậy $(1+\frac{2}{4})(1+\frac{2}{10})...(1+\frac{2}{n^2+3n})=\frac{2.3}{1.4}\frac{3.4}{2.5}...\frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}\frac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}$ $=\frac{2.3^2.4^2...(n+1)^2(n+2)}{1.2.3.4^2.5^2...n^2(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{3(n+1)}{n+3}$
|
|
|
giải đáp
|
Rút gọn biểu thức.
|
|
|
Bài 1) Ta có $k^2+2k+1=(k+1)^2$ Áp dụng điều này $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})...(1+\frac{1}{n^2+2n})=\frac{2^2}{1.3}\frac{3^2}{2.4}...\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$ $=\frac{2.(n+1)}{(n+2)}$
|
|
|
giải đáp
|
cấp số nhân
|
|
|
Đặt $u_1=u$ thế thì $u_3=q^2u,u_4=q^3u,u_6=q^5u$ Theo giả thiết thì$ \begin{cases}u+q^5u=244 \\ uq^2+uq^3=36 \end{cases} \Rightarrow \frac{q^5+1}{q^2+q^3}=244/36=61/9$ $\Rightarrow \frac{q^4-q^3+q^2-q+1}{a^2}=\frac{61}{9}\Rightarrow 9q^4-9q^3-52q^2-9q+9=0$ $\Rightarrow (q-3)(3q-1)(3q^2+7q+3)=0$ Vậy $q=3$ hoặc $q=1/3$ $q=3$ thì $u_1=1$ $q=1/3$ thì $u_1=3^5$
|
|
|
giải đáp
|
cấp số cộng và cấp số nhân
|
|
|
3 số đầu tạo
thành CSC nên Gọi 3 số ấy
là $u,u+d,u+2d$
Gọi số thứ 4
là $x$, 3 số cuối tạo thành CSN nên $x(u+d)=(u+2d)^2$
ð
$x=\frac{(u+2d)^2}{u+d}$
Theo
giả thiết thì $(u+d)+(u+2d)=36$ => $2u+3d=36$ => $u=\frac{36-3d}{2}$
Và
$u+\frac{(u+2d)^2}{u+d}=37$ =>$\frac{36-3d}{2}+\frac{(\frac{36-3d}{2}+2d)^2}{\frac{36-3d}{2}+d}=37$ Từ đây ta giải được $d=4$ hoặc $d=-4.5$ dãy số này nguyên nên chọn $d=4$ suy ra $u=12$, và 4 số này là $12,16,20,25$
|
|