A.Gọi 15 số đó là $u_1,u_1+d,...,u_1+14d$
Ta có $u_1 ^{3}+(u_1+14d)^3=302094$ (1)
Và  $u_1+(u_1+d)+...+(u_1+14d)=15u_1+105d=585$  (2)
(2) => $u_1=\frac{585-105d}{15}=39-7d$
Thay vào (1) thì $(39-7d)^3+(39-7d+14d)^3=(39-7d)^3+(39+7d)^3=302094$ 
Hay $11466(d-4)(d+4)=0$
Dãy số tăng nên lấy $d=4$ 
Vậy $u_1=39-7.4=11$ 

Gọi số đó là $\overline{abc}$
45=5.9 nên $\overline{abc}$ chia hết cho 5 và 9
+ $\overline{abc}$  chia hết cho 5 nên $c=5$ hoặc $c=0$

Nếu c=5
Do a,b,c tạo thành 1 CSC nên $a+c=a+5=2b \Rightarrow a=2b-5$
Vì $\overline{abc}$ chia hết cho 9 nên $a+b+c=2b-5+b+5=3b$ chia hết cho 9
Vậy $b\in \{3,6,9\}$
b=3=> a=1
b=6=> a=7
b=9=> a=13 (không tm)

Nếu c=0
Do a,b,c tạo thành 1 CSC nên $a+c=a+0=2b \Rightarrow a=2b$
Vì $\overline{abc}$ chia hết cho 9 nên $a+b+c=2b-5+b+5=3b$ chia hết cho 9
Vậy $b\in \{3,6,9\}$
b=3=> a=6
b=6=> a=12 (không tm)
b=9=> a=18 (Không tm)
Vậy tóm lại, các số thỏa mãn là 630, 135, 765 

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$6a^3+10a^2b+10a^2c+6abc+cb^2+c^2b-b^3-c^3>0$
Đặt
$a=y+z,b=x+z,c=x+y$  (a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên x,y,z>0 điều trên tương đương với
$56\,yzx+55\,{y}^{2}z+55\,y{z}^{2}+24\,{y}^{2}x+24\,{z}^{2}x+6\,y{x}^{2 }+6\,z{x}^{2}+15\,{y}^{3}+15\,{z}^{3} >0$
và hiển nhiên điều này đúng.

1. Gọi 5 số này là $u_1,u_1q,u_1q^2,u_1q^3,u_1q^4$
Ta có:
$u_1+u_1q+u_1q^2+u_1q^3+u_1q^4=121$
$u_1+u_1q^4=82$
Hay $\begin{cases}u_1(1+q+q^2+q^3+q^4)=121 \\ u_1(1+q^4)=82 \end{cases}$
Vậy $\frac{1+q+q^2+q^3+q^4}{1+q^4}=\frac{121}{82}$
Suy ra $-(-3 + q) (-1 + 3 q) (13 + 16 q + 13 q^2))=0$
Suy ra $q=3$ hoặc $q=1/3$
Suy ra $u_1=1$ hoặc $u_1=81$

Lấy K thuộc MN sao cho AM=MK
Lấy P thuộc AB sao cho KP vuông góc với MN
Ta thấy AM=MK, MP chung nên 2 tam giác vuông $\Delta KMP, \Delta AMP$ bằng nhau suy ra PK=PA
Vì MN=AM+BN nên AK+KN=AM+BN => BN=KN, PN chung nên  $\Delta KNP, \Delta BNP$ bằng nhau vậy PK=PB
Suy ra PA=PB hay P và O trùng nhau, PK vuông góc với MN nên H trùng với K
mà OA=PA=PK=PH=OH=PB=OB nên $\Delta AHB$ vuông tại H
Vậy $S_{ABH}=\frac{AH.BH}{2}=\frac{2AH.BH}{4}\leq \frac{AH^2+BH^2}{4}=\frac{AB^2}{4}=a^2$
Vậy Max($S_{ABH}$)=$a^2$ khi AH=BH, hay AM=BN

Nếu k=2m+1 thì $2^k$ chia 3 dư 2
nên $2^k+3^k$ chia 3 dư 2, suy ra nó không thể là số chính phương.
Vậy k chẵn
Đặt $k=2m$
Giả sử $2^{2m}+3^{2m}=k^2 \Rightarrow 2^{2m}=(k+3^m)(k-3^m)$
Vậy $k-3^m=2^{m_1},k+3^m=2^{m_2}\Rightarrow 3^m=\frac{2^{m_2}-2^{m_1}}{2}$
Do $3^{m}$ nguyên suy ra $m_1>0 \Rightarrow 3^m=2^{m_2-1}-2^{m_1-1}$
Suy ra $m_1-1=0$ (Nếu $m_1-1>0$ thì vế trái lẻ, vế phải chẵn)
Vậy $m_1=1$ Suy ra $m_1=2m-1$ => $3^m=2^{2m-2}-1$
Điều này không xảy ra với m>5. Với các giá trị khác của m cũng thẻ thể dễ dàng kiểm tra được chúng không thỏa mãn
Vậy không tồn tại k

Đặt $OA=OB=OC=x$
Vì $\widehat{BOA}=60^0$, $OA=OB$ nên $\Delta AOB$ đều
Vậy $AB=OB=OA=x$ (1)
Vì $\widehat{BOC}=90^0$
Suy ra $BC^2=OB^2+OC^2=2x^2\Rightarrow BC=\sqrt{2}x$ (2)

Lấy M là trung điểm AC, tam giác OAC cân tại O nên OM vuông góc với AC
$\Delta MAO$ vuông tại M, vì $\widehat{AOC}=120^0$ nên $\widehat{OCM}=30^0$
theo kết quả quen thuộc thì $OM=\frac{OC}{2}=\frac{x}{2}$
Mà $MC^2+MO^2=OC^2 \Rightarrow MC^2+\frac{x^2}{4}=x^2\Rightarrow MC=\frac{\sqrt{3}}{2}x$
$\Rightarrow AC=2MC=\sqrt{3}x$ (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra $AC^2=BC^2+AB^2$
Vậy $\Delta ABC$ vuông tại B

Phương trình đã cho tương đương với $f(x)=(3+x-x^2)^2-x+1=0$
Bạn có thể nhẩm ra x=2 là nghiệm của $f(x)$
Từ đây phân tích đượng thành $(x-2)(x^3-5x-5)=0$
Suy ra x=2 là một nghiệm.
Phương trình bậc 3 kia có nghiệm lẻ

Gọi $R_1,R_2,R_3$ lần lượt là bán kính của 3 đường tròn tâm $O_1.O_2,O_3$
Lây I là giao điển của AB và CD.
Vì $I\in AB$ là trục đẳng phương của ($O_1$),($O_2$) nên $IO_1^2-R_1^2=IO_2^2-R_2^2$

Vì $I\in CD$ là trục đẳng phương của ($O_2$),($O_3$) nên $IO_2^2-R_2^2=IO_3^2-R_3^2$
 Vậy từ 2 điều trên => $IO_1^2-R_1^2=IO_3^2-R_3^2$
 nên $I$ thuộc trục đẳng phương của ($O_1$),($O_3$) hay $I\in EF$
Vậy $AB,CD,EF$ đồng quy (ĐPCM)

B.
$\left ( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{9.10}\right )(x -1) +\frac{1}{10}x = x - \frac{9}{10}$
$\Leftrightarrow (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})(x-1)+\frac{1}{10}x=x-\frac{9}{10}$ 
$\Leftrightarrow (1-\frac{1}{10})(x-1)+\frac{1}{10}x-x+\frac{9}{10}=0 \Leftrightarrow 0=0$
Vậy mọi x đều là nghiệm của phương trình này  

Cho a=b=4, c=1/16 thì bài toán này sai bạn nhé :)
 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Đặt $a=x+5$
Phương trình đã cho trở thành $f(a)=a^4+(a-2)^4-2=0$ 
hay $f(a)=2a^4-8a^3+24a^2-32a+14=0$
Từ $f(1)=0$ suy ra f có 1 nghiệm là 1, ta phân tích được $f(a)=(a-1)^2(a^2-2a+7)$
Vậy $a=1$ suy ra $x+5=1$ hay $x=-4$