Gọi $u_1$ và $d$ là số bé nhất trong 4 số và công sai của CSC này
khi đó theo giả thuyết
$\begin{cases}u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)+(u_1+3d)=4u_1+6d=10  (1) \\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2+(u_1+3d)^2=70  (2) \end{cases}$ 

Từ (1) $\Rightarrow u_1=(10-6d)/4$ Thay vào (2) ta được:
 $((10-6d)/4)^2+((10-6d)/4+d)^2+((10-6d)/4+2d)^2+((10-6d)/4+3d)^2=70$
$\Leftrightarrow 5(d-3)(d+3)=0$
Có 2 nghiệm là: 3 và -3
Suy ra $u_1=(10-6.3)/4=-2$ hoặc $u_1=(10+6.3)/4=7$

Để phương tình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương  trình $t^2-2(m+2)+2m+3$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$ (Các nghiệm của phương tình ban đầu sẽ là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$)
điều này có nghĩa là
$(m+2)^2-2m-3>0 \Leftrightarrow m^2+2m+1=(m+1)^2>0 \Leftrightarrow m\neq -1$ (1)
và $m+2>0 \Leftrightarrow m>-2$ (2)

Gọi $a$ là nghiệm dương bé nhất của phương tình ban đầu, khi đó $-a$  cũng là nghiệm của pt đó, vậy 4 nghiệm tạo thành CSC có công sai là $a-(-a)=2a$ vậy 4 nghiệm của pt ban đầu là $-3a,-a,a,3a$
Vậy  phương tình (*) có 2  nghiệm là $a^2$ và $9a^2$
Vậy suy ra $\begin{cases}2(m+2)=10a^2 \\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4(m+2)^2=100a^4\\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Rightarrow\frac{2m+3}{4m^2+16m+16}=\frac{9}{100}$
$\Rightarrow\begin{cases}m=3 \\ m=-13/9 \end{cases}$ 
 2 nghiệm  này đều thỏa mãn (1) và (2) vậy  $m=3$ hoặc $m=-13/9$ 

Đặt $A'B=x,A'C=y$
Khi ấy ta có $x+y=a, b^2-x^2=AA'^2=c^2-y^2$ => $x^2-y^2=b^2-c^2$ => $x-y=(b^2-c^2)/a$
Từ đây =>
$x=(a^2+b^2-c^2)/2a, y=(c^2+a^2-b^2)/2a$  (1)
Ta suy ra
$AA'=\sqrt{b^2-x^2}=\sqrt{\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}}$ (2)
Ta lại có $\widehat{HBC}=\widehat{A'AC}$
suy ra $\Delta HBA' \approx \Delta CAA'$ =>$HA'/CA'=BA'/AA'$ 
Hay $HA'=xy/AA'$ còn $HA=AA'-HA'$( Với $x,y$ và $AA'$ xác định như (1) và (2))  

xét hàm $f(x)=x+x^2+x^3+...+x^{2010}=x(1+x+x^2+...+x^{2009})=x.\frac{x^{2010}-1}{x-1}$
Ta có $f'(x)=1+2x+3x^2+....+2010.x^{2009}$
Nhưng ta cũng có $f'(x)={\frac {2011\,{x}^{2010}-1}{x-1}}-{\frac {x\cdot ({x}^{2010}-1)}{  \left( x-1 \right) ^{2}}}$
Vậy $D=f'(3)=\frac{2011.3^{2010}-1}{2}-\frac{3.(3^{2010}-1)}{4}$

Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=c
Ta có các công thức quen thuộc
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$
Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$
Tương tự thì
$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$
$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$
 Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$
$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$
$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{(a+b+c)4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)