Đặt $\ln x=t\Rightarrow \frac{1}{x}dx=dt\Rightarrow dx=e^tdt$.
Đổi cận: $x=1\;\Rightarrow t=0$
                $x=e^\pi\Rightarrow t=\pi$
Ta có: $I=\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=\int\limits_0^\pi\cos td(e^t)$
                                            $=e^t\cos t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\cos t)$
                                            $=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi e^t\sin tdt$
                                            $=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi \sin td(e^t)$
                                            $=-e^\pi-1+(e^t\sin t)\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\sin t)$
                                            $=-e^\pi-1-\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=-e^\pi-1-I$
             $\Rightarrow I=\frac{-e^\pi-1}{2}$

Ta có: $I=\int\limits_1^2\ln (x+1)dx=\int\limits_1^2\ln(x+1)d(x+1)=\int\limits_2^3\ln tdt$
Đặt: $u=\ln t\qquad\Rightarrow du=\frac{1}{t}dt$
        $dv=dt\qquad\;\Rightarrow v=t$
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:
        $I=t\ln t\left|\begin{array}{I}3\\2\end{array}\right.-\int\limits_2^31dt=3\ln3-2\ln2-1=\ln\frac{27}{4}-1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Áp dụng công thức $\sin A=\frac{2S}{bc}$ và hàm số cos suy rộng ta có:
      $2\sin^2A=\tan B\tan C$
$\Leftrightarrow 2\frac{4S^2}{b^2c^2}=\frac{4S}{a^2+b^2-c^2}.\frac{4S}{a^2-b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow 2b^2c^2=a^4-(b^2-c^2)^2$
$\Leftrightarrow 2b^2c^2=a^4-b^4-c^4+2b^2c^2$
$\Leftrightarrow a^4=b^4+c^4$, đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Phương trình đã cho tương đương với:
$2\cos(x-\frac{\pi}{6})=\sqrt{2[1+\cos(2x-\frac{\pi}{3})]}$                 $(1)$
$\Leftrightarrow \cos(x-\frac{\pi}{6})=|\cos(x-\frac{\pi}{6})|$
Từ đó suy ra nghiệm của $(1)$ là:
$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{2}+2k\pi,\,\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow -\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le \frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$.