Đặt: $t = \pi  - x \Rightarrow dt =  - dx$
Đổi cận: $\begin{cases} x=0 \rightarrow t=\pi \\ x=\pi \rightarrow t=0 \end{cases}$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow I =- \int\limits_\pi^0  {\frac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin t}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}} dt= \int\limits_0^\pi  {\frac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin t}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}} dt = \pi \int\limits_0^\pi  {\frac{{\sin t}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}} dt - I\\
 \Rightarrow 2I = \pi \int\limits_0^\pi  {\frac{{\sin t}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}} dt =  - \pi \int\limits_0^\pi  {\frac{{d(\cos t)}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}}  = -\pi \arctan \cos t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.=\pi \left( {\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{4}} \right)\\
 \Rightarrow I =\frac{\pi^2}{4}.
\end{array}$

$a)$   Ta có:
$\frac{{{a^{ - 1}} + {{(b + c)}^{ - 1}}}}{{{a^{ - 1}} - {{(b + c)}^{ - 1}}}} = 
\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{{b + c}}}}{{\frac{1}{a} - \frac{1}{{b + c}}}} = \frac{{a + b + 
c}}{{b + c - a}}$
Và: $1 + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{(2bc + {b^2} + {c^2}) - 
{a^2}}}{{2bc}}$
   $ = \frac{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{(b + c + 
a)(b + c - a)}}{{2bc}}$
$ \Rightarrow \frac{{{a^{ - 1}} + {{(b + c)}^{ - 1}}}}{{{a^{ - 1}} - {{(b + c)}^{ - 1}}}}\left( {1 
+ \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right){(a + b + c)^2}$
$ = \frac{{a + b + c}}{{b + c - a}}.\frac{{(b + c + a)(b + c - a)}}{{2bc}}.\frac{1}{{{{(a + b + 

c)}^2}}} = \frac{1}{{2bc}}$
$b)$    $\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{{\rm{a}}^{\frac{1}{2}}} + 1}} - 
\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right)\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 
1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}} \right)$
$ = \left[ {\frac{{\sqrt a  + 2}}{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{\left( 
{\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right]\left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}} 
\right) = \left[ {\frac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  - 1}}} 
\right]\frac{1}{{\sqrt a }}$
$ = \frac{{a + \sqrt a  - 2 - \left( {a - \sqrt a  - 2} \right)}}{{a - 1}}.\frac{1}{{\sqrt a }} = 
\frac{2}{{a - 1}}$

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 2 lần phương trình thứ hai ta được:
$y^4-2y^2-4xy^3+4xy+1=0\Leftrightarrow (y^2-1)^2-4xy(y^2-1)=0$
                                                              $\Leftrightarrow (y^2-1)(y^2-1-4xy)=0$
                                                              $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} y=1\\ y=-1 \\y^2-1-4xy=0\end{array} \right.$
$\bullet$ Nếu $y=1$, thay vào phương trình đầu tiên ta được:
          $4x^2+1-4x=1\Leftrightarrow 4x(x-1)=0$
                                             $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array} \right.$         (thỏa mãn)
$\bullet$ Nếu $y=-1$, thay vào phương trình đầu tiên ta được:
          $4x^2+1+4x=1\Leftrightarrow 4x(x+1)=0$
                                             $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=0\\ x=-1 \end{array} \right.$         (thỏa mãn)
$\bullet$ Nếu $y^2-1-4xy=0\Leftrightarrow x=\frac{y^2-1}{4y}$ (dễ thấy là $y\ne0$).
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
   $2\Big(\frac{y^2-1}{4y}\Big)^2+y^2-2\Big(\frac{y^2-1}{4y}\Big)y=1\Leftrightarrow 2(y^2-1)^2+16y^4-8(y^2-1)y^2=16y^2$
                                                                                $\Leftrightarrow 2(y^2-1)(5y^2-1)=0$
                                                                                $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} y=1\\ y=-1\\y=\frac{1}{\sqrt5}\\y=\frac{-1}{\sqrt5} \end{array} \right.$
          Với $y=1\Rightarrow x=0$, thỏa mãn.
          Với $y=-1\Rightarrow x=0$, thỏa mãn.
          Với $y=\frac{1}{\sqrt5}\Rightarrow x=\frac{-1}{\sqrt5}$, thỏa mãn.
          Với $y=\frac{-1}{\sqrt5}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt5}$, thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ là: $(x,y)\in\{(0;1),(1;1),(0;-1),(-1;-1),(\frac{1}{\sqrt5};\frac{-1}{\sqrt5}),(\frac{-1}{\sqrt5};\frac{1}{\sqrt5})\}$

Đặt $\frac{x(y+z-x)}{\log x}=\frac{y(z+x-y)}{\log y}=\frac{z(x+y-z)}{\log z}=\frac{1}{a}, a\in\mathbb{R}.$
Ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \log x=ax(y+z-x)\\ \log y=ay(z+x-y) \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\log x=axy(y+z-x)\\ x\log y=axy(z+x-y) \end{array} \right.$
Suy ra: $x\log y+y\log x=2axyz.$                                 $(1)$
Tương tự ta có: $y\log z+z\log y=2axyz$                     $(2)$
                            $z\log x+x\log z=2axyz$                     $(3)$
Tử $(1),(2),(3)$ ta có:
      $x\log y+y\log x=y\log z+z\log y=z\log x+x\log z$
$\Leftrightarrow \log(x^y.y^x)=\log(y^z.z^y)=\log(z^x.x^z)$
$\Leftrightarrow x^y.y^x=y^z.z^y=z^x.x^z$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x\ge 1\\0< y\le2 \end{array} \right.$.
Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1\\3(1+\log_9(x^2))-3\log_3y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \\ \log_3x=\log_3y \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ 1+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ (x-1)(2-x)=0 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=y=1\\ x=y=2 \end{array} \right.$      (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ là: $(x,y)\in\{(1;1),(2;2)\}$

Điều kiện: $4.2^x-3>0$.
Phương trình đã cho tương đương với:
          $\log_2(4^x+15.2^x+27)=2\log_2(4.2^x-3)$
    $\Leftrightarrow \log_2(4^x+15.2^x+27)=\log_2(4.2^x-3)^2$
    $\Leftrightarrow 4^x+15.2^x+27=(4.2^x-3)^2$
    $\Leftrightarrow 4^x+15.2^x+27=16.4^x-24.2^x+9$
    $\Leftrightarrow 5.(2^x)^2-13.2^x-6=0$
    $\Leftrightarrow \left [\begin{array}{I}2^x=3\\2^x=\frac{-2}{5}\qquad(\textrm{loại, vì } 2^x>0)\end{array}\right. $
    $\Leftrightarrow x=\log_23$ (thỏa mãn điều kiện).

Ta có: $ \log_616=4\log_62=\frac{4}{\log_26}=\frac{4}{1+\log_23}$
Lại có: $a=\log_{12}27=3\log_{12}3=\frac{3}{\log_312}=\frac{3}{1+\log_34}$
                 $=\frac{3}{1+2\log_32}=\frac{3}{\displaystyle1+\frac{2}{\log_23}}=\frac{3\log_23}{2+\log_23}$
                 $\Rightarrow a(2+\log_23)=3\log_23\Rightarrow \log_23=\frac{2a}{3-a} (\textrm{rõ ràng ta có: }a\ne 3)$
Suy ra: $\log_616=\frac{4}{\displaystyle 1+\frac{2a}{3-a}}=\frac{4(3-a)}{a+3}$

Vì tam giác ABC cân tại A và có $\widehat{B}=72^o$ nên suy ra: $\widehat{A}=36^o$.
Ta có: $\cos 36^o=\sin54^o\Leftrightarrow 1-2\sin^218^o=3\sin18^o-4\sin^318^o$
                                              $\Leftrightarrow 4\sin^318^o-2\sin^218^o-3\sin18^o+1=0$
                                              $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} \sin18^o=1\qquad\qquad\qquad\textrm{(loại)}\\\sin18^o=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\\\sin18^o=\frac{-1-\sqrt{5}}{4} \qquad\textrm{ (loại)} \end{array} \right.$
                                              $\Leftrightarrow \sin18^o=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$
          $\Rightarrow \cos A= \cos36^o=1-2\sin^218^o=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$

Đặt $\ln x=t\;\Rightarrow x=e^t\;\Rightarrow dx=e^tdt$
Đổi cận: $x=1\;\;\Rightarrow t=0$
                $x=e^\pi\;\Rightarrow t=\pi$
Từ đó: $I=\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=\int\limits_0^\pi\cos td(e^t)$
                  $=e^t\cos t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\cos t)$
                  $=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi e^t\sin tdt$
                  $=-e^\pi-1+\int\limits_0^\pi \sin td(e^t)$
                  $=-e^\pi-1+e^t\sin t\left|\begin{array}{I}\pi\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^\pi e^td(\sin t)$
                  $=-e^\pi-1-\int\limits_0^\pi e^t\cos tdt=-e^\pi-1-I$
Suy ra: $I=\frac{-e^\pi-1}{2}$.

a, Hàm số $\cos x$ có chu kì $2\pi$.
    Hàm số $\cos(x\sqrt3)$ có chu kì $\frac{2\pi}{\sqrt3}$.
Nhận thấy $\not\exists k,l\in \mathbb{Z}$ sao cho $k.2\pi=l.\frac{2\pi}{\sqrt3}$, nên hàm số $y=\cos x+2\cos(x\sqrt3)$ không tuần hoàn.
b, Giả sử hàm số $y=\cos x^2$ tuần hoàn, hay $\exists T>0$ sao cho: $\cos (x+T)^2=\cos x^2,\forall x\in\mathbb{R}$.
Thay $x=0$, ta được $\cos T^2=1$ suy ra $T^2=k2\pi,k\in\mathbb{Z}^+$.
Từ đó: $\cos(x+2\sqrt{k2\pi}+k2\pi)=\cos x, \forall x\in\mathbb{R}$
           $\Rightarrow 2\sqrt{k2\pi}=l2\pi, l\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2k=l^2\pi$, vô lý.
Vậy hàm $y=\cos x^2$ không tuần hoàn.
c, Giả sử hàm số $y=\tan\sqrt x$ tuần hoàn, hay $\exists T>0$ sao cho: $\tan\sqrt{x+T}=\tan\sqrt x,\forall x\ge 0$
Thay $x=0$, ta được $\tan\sqrt T=0$, suy ra $\sqrt T=k\pi,k\in\mathbb{Z}^+$.
Thay $x=\pi^2$, ta được $\tan\sqrt{\pi^2+T}=0$, suy ra $\sqrt{\pi^2+T}=l\pi,l\in\mathbb{Z}^+$.
Từ đó: $\pi^2+k^2\pi^2=l^2\pi^2\Rightarrow 1+k^2=l^2\Rightarrow k=0,l=1$, vô lý.
Vậy hàm $y=\tan\sqrt x$ không tuần hoàn.