Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Sau khi thực hiện các biến đổi và rút gọn, ta được bất phương trình:
                 $(2m-1)(m+2)x<m+2$.
Lập bảng xét dấu tích  $(2m-1)(m+2)$:

a) Với $m<-2$  hoặc  $m>\frac{1}{2}$ thì $(2m-1)(m+2)>0$
Bất phương trình có nghiệm  $x<\frac{(2m-1)(m+2)}{m+2}  \Rightarrow    x<2m+1$
b) Với $-2<m<\frac{1}{2}$  thì  $(2m-1)(m+2)<0$
Bất phương trình có nghiệm  $x>2m+1$.
c) Với $m=-2$,  bất phương trình có dạng  : $0.x<0$
$\Rightarrow$  Bất phương trình vô nghiệm.  $S=\varnothing$.
Với $m=\frac{1}{2}$,  bất phương trình có dạng : $0.x<1$
$\Rightarrow$  Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị  $x$. 
                           $S=\mathbb{R}$.

a) $\frac{4x^2+5x-1}{2x^2+5x+3}>1  \Leftrightarrow   \frac{4x^2+5x-1}{2x^2+5x+3}-1>0  \Leftrightarrow   \frac{x^2-2}{2x^2+5x+3}>0$
$x^2-2$  có hai nghiệm $x=\pm \sqrt{2}$
$2x^2+5x+3$  có hai nghiệm $x=-1;  x=-\frac{3}{2}$.
Bảng xét dấu:

Nghiệm của bất phương trình là:
$S=\left\{ {x| x \in \mathbb{R} ;  x<-\frac{3}{2}; -\sqrt{2}<x<-1; x> \sqrt{2}   } \right\}$

b) $\frac{2x}{x+2}+\frac{x+2}{2x} \geq 4, x \neq -2,  x \neq 0$.
$\Rightarrow    \frac{2x}{x+2}+\frac{x+2}{2x}-4 \geq 0  \Rightarrow    \frac{4x^2+(x+2)^2-8x(x+2)}{2x(x+2)}  \ge 0$
$\Rightarrow   \frac{-3x^2-12x+4}{2x(x+2)}  \geq 0$.
Lập bảng xét dấu của phân thức vế trái.
Tam thức $-3x^2-12x+4$  có hai nghiệm   $x=\frac{6 \pm 4 \sqrt{3}  }{3}$.

Nghiệm của bất phương trình là:
$S= \left\{ {x|x \in \mathbb{R}; -\frac{6+4 \sqrt{3} }{3}  } \leq x <-2; 0<x \leq -\frac{6- 4 \sqrt{3} }{3}  \right\}$

c) $(x^2-x+5)^2<(x^2-3x+7)^2    \Leftrightarrow   (x^2-x+5)^2-(x^2-3x+7)^2<0$
$\Leftrightarrow   (x^2-2x+6)(x-1)<0$.
Tam thức  $x^2-2x+6$  có  $\Delta'=1-6<0$  vì hệ số hạng tử chứa $x^2$  là  $1>0$  nên  $x^2-2x+6>0 \forall x, x \in \mathbb{R}$.
Bất phương trình trên tương đương với:  $x-1<0  \Leftrightarrow    x<1$
$S=\left\{ {x| x \in \mathbb{R}, x<1} \right\}$

a) $\frac{4x^2+5x-1}{2x^2+5x+3}>1  \Leftrightarrow   \frac{4x^2+5x-1}{2x^2+5x+3}-1>0  \Leftrightarrow   \frac{x^2-2}{2x^2+5x+3}>0$
$x^2-2$  có hai nghiệm $x=\pm \sqrt{2}$
$2x^2+5x+3$  có hai nghiệm $x=-1;  x=-\frac{3}{2}$.
Bảng xét dấu:

Nghiệm của bất phương trình là:
$S=\left\{ {x| x \in \mathbb{R} ;  x<-\frac{3}{2}; -\sqrt{2}<x<-1; x> \sqrt{2}   } \right\}$

b) $\frac{2x}{x+2}+\frac{x+2}{2x} \geq 4, x \neq -2,  x \neq 0$.
$\Rightarrow    \frac{2x}{x+2}+\frac{x+2}{2x}-4 \geq 0  \Rightarrow    \frac{4x^2+(x+2)^2-8x(x+2)}{2x(x+2)}  \ge 0$
$\Rightarrow   \frac{-3x^2-12x+4}{2x(x+2)}  \geq 0$.
Lập bảng xét dấu của phân thức vế trái.
Tam thức $-3x^2-12x+4$  có hai nghiệm   $x=\frac{6 \pm 4 \sqrt{3}  }{3}$.

Nghiệm của bất phương trình là:
$S= \left\{ {x|x \in \mathbb{R}; -\frac{6+4 \sqrt{3} }{3}  } \leq x <-2; 0<x \leq -\frac{6- 4 \sqrt{3} }{3}  \right\}$

c) $(x^2-x+5)^2<(x^2-3x+7)^2    \Leftrightarrow   (x^2-x+5)^2-(x^2-3x+7)^2<0$
$\Leftrightarrow   (x^2-2x+6)(x-1)<0$.
Tam thức  $x^2-2x+6$  có  $\Delta'=1-6<0$  vì hệ số hạng tử chứa $x^2$  là  $1>0$  nên  $x^2-2x+6>0 \forall x, x \in \mathbb{R}$.
Bất phương trình trên tương đương với:  $x-1<0  \Leftrightarrow    x<1$
$S=\left\{ {x| x \in \mathbb{R}, x<1} \right\}$

 Trước hết ta phân tích mẫu thành các nhân tử
$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$
$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$.
Áp dụng hệ thức  :  $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$. Ta có lời giải như sau:
Điều kiện xác định:  $x \neq -1; x \neq -2; x \neq -3; x \neq -4; x \neq -5$. Bất phương trình được đưa về:
$\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+5}<-1$
$\Leftrightarrow\frac{(x+5)-(x+1)+(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+5)} <0\Leftrightarrow\frac{x^2+6x+9}{(x+1)(x+5)}<0 \Leftrightarrow \frac{(x+3)^2}{(x+1)(x+5)}<0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 3 \\ (x+1)(x+5)<0 \end{cases}$
Kết quả:  $-5<x<-1;  x \neq -3$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta xét các trường hợp:
a)  $m=\frac{1}{2}  \Rightarrow   2m-1=0  \Rightarrow$ phương trình trở thành phương trình bậc nhất:  $5x+1=0$  và có nghiệm duy nhất  $x=-\frac{1}{5}$.
b) $m \neq \frac{1}{2}$,  phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có biệt thức:
$\Delta=(m+2)^2-4(m-1)(2m-1)   \Rightarrow   \Delta=-7m^2+16m$
Biệt thức  $\Delta=-7m^2+16m$  là một tam thức bậc hai đối với $m$  , có hai nghiệm  $m=0, m=\frac{16}{7}$  và hệ số của hạng tử bậc hai là  $-7$.
Xét dấu  $\Delta$  theo  $m$  ta được:
* $m<0$  hoặc  $m>\frac{16}{7}   \Rightarrow   \Delta<0   \Rightarrow$  phương trình đã cho vô nghiệm.
* $m=0  \Rightarrow  \Delta =0  \Rightarrow$  phương trình đã cho có nghiệm kép  $x_1=x_2=-1$
   $m=\frac{16}{7} \Rightarrow  \Delta =0$,  phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{3}{5}$
* $0<m<\frac{16}{7}  \Rightarrow   \Delta>0  \Rightarrow$:  phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Kết quả:
$m=\frac{1}{2}$:  phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{5}$.
$m<0$  hoặc  $m>\frac{16}{7}$:  phương trình vô nghiệm.
$m=0$:  phương trình có nghiệm kép  $x=-1$.
$m=\frac{16}{7}$:  phương trình có nghiệm kép  $x=\frac{3}{5}$.
$0<m<\frac{16}{7},  m \neq \frac{1}{2}$:  phương trình có hai nghiệm phân biệt.

a) Đặt $f(x; y)=2x-y+3$. Chú ý rằng $f(0; 0)=3 >0$, tức là cặp số $(0; 0)$ không là nghiệm của BPT trên. Như vậy nghiệm của BPT  $2x-y+3 < 0$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x-3y+3=0$ không chứa gốc tọa độ $O$.

b) Đặt $f(x; y)=5x+y-10$. Chú ý rằng $f(0; 0)=-10<0$, tức là cặp số $(0; 0)$ là nghiệm của BPT trên. Như vậy nghiệm của BPT  $2x-y+3 < 0$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $5x+y-10=0$ chứa gốc tọa độ $O$.

Những điểm có tọa độ thỏa mãn hệ điều kiện thuộc miền trong của ngũ giác  $OABCD$  , kể cả các điểm nằm trên các cạnh.  Ta có các đỉnh:
Giá trị của biểu thức  $f(x;y)$  tại các điểm  $O; A; B; C; D$.

Như vậy  $\max f(x;y)=74$  đạt tại điểm  $A$.
                $\min f(x;y)=-36$  đạt được tại $D$.

a) Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1) \\ x_1x_2=m-1 \end{cases}$
$\Rightarrow (x_1+x_2)-2x_1x_2=0$.

b) Với $m \neq 0$ thì PT đã cho là PT bậc hai. Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m+1}{m} =2+\frac{1}{m} \\ x_1x_2=\frac{3m-1}{m} =3-\frac{1}{m} \end{cases}$
$\Rightarrow (x_1+x_2)+x_1x_2-5=0$.

c) Với $m \neq 3$ thì PT đã cho là PT bậc hai. Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(3m-4)}{m-3} =6+\frac{10}{m-3} \\ x_1x_2=\frac{7m-6}{m-3} =7+\frac{15}{m-3} \end{cases}$
$\Rightarrow 3(x_1+x_2)-2x_1x_2-4=0$.
             
d) Với $m \neq 0$ thì PT đã cho là PT bậc hai. Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{2(m-4)}{m} =-2+\frac{8}{m} \\ x_1x_2=\frac{m+7}{m} =1+\frac{7}{m} \end{cases}$
$\Rightarrow 7(x_1+x_2)-8x_1x_2+22=0$.

Đặt     $X=\frac{x}{2x-3}   \Rightarrow X(2x-3)=x\Rightarrow   x=\frac{3X}{2X-1}$
$M, N$   là nghiệm của phương trình bậc hai: $x^2-8x+11=0$. Tức là
$\left ( \frac{3X}{2X-1}  \right )^2-8.(\frac{3X}{2X-1} )+11=0    \Rightarrow     5X^2-20X+11=0$
cho ta:    $M=\frac{2x_1}{2x_1-3}=\frac{10+3 \sqrt{5} }{5};               N=\frac{2x_2}{2x_2-3}=\frac{10-3 \sqrt{5} }{5}$.

a) Tam thức  $2x^2+8x-90=2(x^2+4x-45)$
Tam thức  $x^2+4x-45$  có hai nghiệm $5; -9$, do đó ta có:
                     $2(x^2+4x-45)=2(x-5)(x+9)$
Tương tự,  $3x^2-36x+105=3(x-5)(x-7)$
Vậy  $\frac{2x^2+8x-90}{3x^2-36x+105}=\frac{2(x+9)}{3(x-7)}       x \neq -7;  x \neq 5$.

b) Xét phương trình  $x^2+3ax+2a^2+ab-b^2=0$
Phương trình này có hai nghiệm  $x_1=-(a+b);  x_2=-2a+b$ nên tam thức này có thể phân tích thành nhân tử:
Tương tự ta có:                       $x^2+2ax+a^2-b^2=(x+a+b)(x+a-b)$
$\Rightarrow     B=\frac{x-2a-b}{x+a-b}$.

c) Ta có  $C=\frac{x^4-9x^2+20}{x^4-10x^2+24}=\frac{(x^2-4)(x^2-5)}{(x^2-4)(x^2-6)}  \Rightarrow     C=\frac{x^2-5}{x^2-6}$