|
giải đáp
|
Tìm lim của dãy số
|
|
|
a) $v_1=\frac{m}{2} $ $v_2=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_1 \Rightarrow 2v_2=m+v_1$ $v_3=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_2 \Rightarrow 2^2 v_3=2m+2v_2$ ... $v_n=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_{n-1} \Rightarrow 2_{n-1}v_n=2^{n-2}m+2^{n-2}.v_{n-1} $ Cộng từng vế và rút gọn, ta được: $2^{n-1}v_n=\frac{m}{2}(1+2+...+2^n)=\frac{m}{2}\left ( \frac{2^n-1}{2-1} \right ) $ $\Rightarrow v_n=\frac{\frac{m}{2}(2^n-1) }{2^{n-1}} \Rightarrow \lim v_n =\frac{m(2^n-1)}{2^n}=m $
|
|
|
|
giải đáp
|
Giới hạn của dãy số
|
|
|
a) $v_n=u_n-4$ $\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}-4=\sqrt u_n +2-4=\sqrt u_n-2 =\frac{u_n-4}{\sqrt {u_n}+2} \leq \frac{u_n-4}{3} \forall n $ Do đó $0< v_{n+1} < \frac{1}{3} v_n \forall n$ (chú ý rằng $u_n>1 \forall n$) Ta có: $v_2 \leq \frac{1}{3}v_1 $ và $v_3 \leq \frac{1}{3} v_2 \leq (\frac{1}{3} )^2 v_1$ Bằng quy nạp, ta dễ chứng minh được: $0< v_n \leq (\frac{1}{3} )^{n-1}v_1=4(\frac{1}{3} )^{n-1}$ Vậy $\lim v_n=0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }(\frac{1}{3} )^{n-1}=0 $ (đpcm) b) Vì $v_n=u_n-4 \Rightarrow \lim v_n= \lim u_n -4$ hay $0=\lim u_n -4$. Vậy $\lim u_n=4$.
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Cấp số cộng
|
|
|
ĐK cần: Cho $\div (u_n): a=u_1+md; b=u_1+nd; c=u_1+kd$ Nếu ta chọn $p=n-k; q=k-m; r=m-n$ thì ta sẽ có: $p+q+r=0$ và $ap+bq+cr=(u_1+md)(n-k)+(u_1+nd)(k-m)+(u_1+kd)(m-n)$ $= u_1(n-k+k-m+m-n)+d(mn-mk+nk-mn+mk)$ $=u_1.0+d.0=0$ Đây chính là $3$ số $p,q,r$ cần tìm.
ĐK đủ: Trong ba số $a,b,c$ ta giả sử $c$ bé nhất sao cho: $\begin{cases}p+q+r=0 (1)\\ ap+bq+cr=0 (2) \end{cases} $ Từ $(1) \Rightarrow q=-p-r$ Từ $(2) \Rightarrow ap+b(-q-r)+cr=0$ $\Rightarrow p(a-b)=r(b-c)$ $\Rightarrow \frac{a-b}{r}=\frac{b-c}{p} =d $ $\Rightarrow a=b+dr$ $\Rightarrow b=c+pd; a=c+(r+p)d$ Vậy $a, b$ được xem lần lượt là số hạng thứ $r+p+1; p+1$ của một cấp số cộng có số hạng đầu tiên là $c$ và công sai $d$.
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Dãy số tăng, giảm
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
giải đáp
|
Tính chẵn lẻ của hàm số
|
|
|
a) Hàm số xác định với $x\neq 0, x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi $ Tập xác định $D$ có tính đối xứng. $\forall x \in D: f(-x)= \frac{-x^5-\sin(-2x)}{(-x)^3+\tan (-x)}=\frac{-x^5 +\sin 2x}{-x^3-\tan x}= \frac{x^5-\sin 2x}{x^3+\tan x}=f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. b) Hàm số đã cho xác định với mọi $x\in R$ Ta có: $f(-x)=-x \sqrt[3]{-x}+\sin |-x|=x\sqrt[3]{x}+\sin |x|=f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. c) Hàm số xác định $\forall x \in R$ Ta có: $f(-x)=\cos(1-2x)$ $f(1)=\cos (-1)=\cos 1$ $f(-1)=\cos(3)$ Nhưng $f(-1) \neq f(1)$. Vậy hàm số đã cho không chẵn, cũng không lẻ.
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình lượng giác
|
|
|
Phương trình có dạng: $\cos(3x-\frac{\pi}{4} )=\frac{\sqrt{6} }{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt[]{3} }{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}$
$=\cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{6}.\sin\frac{\pi}{4}$ hay $\cos(3x-\frac{\pi}{4} )=\cos \frac{5\pi}{12} $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x-\frac{\pi}{4}= \frac{5\pi}{12}+k2\pi (1) \\3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi (2)\end{array} \right. $ Giải $(1)$ và $(2)$, ta được nghiệm: $x=\frac{2\pi}{9}+k \frac{2\pi}{3}, x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2\pi}{3} $.
|
|
|
bình luận
|
Cấp số nhân Bài này hem khó lắm đâu, chúc bạn lun học tốt nha :x
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Cấp số nhân
|
|
|
$1+a+a^2+...+a^n=S_{n+1}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1} $ Vế trái của đẳng thức có thể viết: $\left ( \frac{a_{n+1}-1}{a-1} \right )^2-a^n=\frac{(a^{n+1}-1)^2-a^n(a-1)^2}{(a-1)^2}$ $=\frac{a_{2(n+1)}-2a_{n+1}+1-a^{n+2}+2a_{n+1}-a_n}{(a-1)^2} =\frac{a^{n+2}-1}{a-1}. \frac{a_n-1}{a-1} $ $= (1+a+...+ a^{n+1})(1+a+...+a^{n-1})$ (đpcm)
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
Từ phương trình $(1)$, rút $x$ theo $y$ ta được: $x=\frac{3y^2-160}{2y} $. Đem thế vào phương trình $(2)$ ta được phương trình trùng phương với ẩn $y$: $y^4-89y^2+1600=0$. Phương trình trùng phương này có $4$ nghiệm: $y_1=8; y_2=-8; y_3= 5; y_4=-5$. Ta tính được các giá trị tương ứng của $x$. $x_1=2; x_2=-2; x_3=-8,5; x_4=8,5$. Kết quả: Hệ phương trình có bốn nghiệm $(-2; -8), (2; 8), (-8,5; 5), (8,5; -5)$.
|
|