Ta có:
$m \neq 0$  và  $m \neq 4      \Rightarrow           x=\frac{n^2-mn-5}{m(m-4)} $.
$m=0           \Rightarrow            \begin{cases}n \neq \pm \sqrt 5     \Rightarrow  S = \emptyset \\ n=\pm\sqrt 5   \Rightarrow  S=\mathbb{R} \end{cases} $;
$m=4           \Rightarrow            0.x = n^2-4n-5=(n+1)(n-5)$
                           $\Rightarrow      \begin{cases}n\neq -1; n \neq 5                \Rightarrow      S=\emptyset \\ n=-1  \text { hoặc } n=5   \Rightarrow    S=\mathbb{R}\end{cases}$

a) Ta có:  $a \neq \pm1   \Rightarrow        x=-\frac{a}{a+1},  y=\frac{a^2+a+1}{a+1}$.
                    $a=1    \Rightarrow       \begin{cases}x\in \mathbb{R}  \\ y=1-x \end{cases} $    Hệ vô số nghiệm.
                   $a=-1$. Hệ vô nghiệm.

b) Cộng theo từng vế hai PT ta được $x(a+b)=a+b$.
Nếu $a=-b$. PT trên $\Leftrightarrow 0.x=0$. PT này nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R} $. HPT đã cho có vô số nghiệm $\begin{cases}x \in \mathbb{R} \\ y=-b(x+1) \end{cases}$
Nếu $a \ne -b$. HPT có nghiệm $\begin{cases}x=1 \\ y=a-b \end{cases}$

c) Từ PT thứ hai thay $x = y+a-b$ vào PT thứ nhất ta được PT $b(a-b)=y(a-b)$.
Làm tương tự như câu b) ta được
Nếu $a=b$. HPT đã cho có vô số nghiệm $\begin{cases}x \in \mathbb{R} \\ y=x \end{cases}$
Nếu $a \ne b$. HPT có nghiệm $\begin{cases}x=a \\ y=b \end{cases}$

Điều kiện : $x \ne \pm y$.
Đặt:        $t=\frac{x+y}{x-y}           \Rightarrow              \frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t}   $.
Phương trình (1)  trở thành:
              $t+\frac{6}{t}=5       \Rightarrow             t^2-5t+6=0         \Rightarrow         t_1=3;    t_2=2$.
* Với $t_1=3             \Rightarrow           \frac{x+y}{x-y}=3                                       \Rightarrow              x=2y  $.
Đem thế vào (2)  ta được:              $2y^2=2                    \Rightarrow        y=\pm 1$
+$y_1=1          \Rightarrow    x_1=2$
+$y_2=-1    \Rightarrow    x_2=-2$.
* Với $t_2=2             \Rightarrow           \frac{x+y}{x-y}=2                                       \Rightarrow              x=3y  $.
Đem thế vào (2)  ta được:              $3y^2=2                    \Rightarrow        y=\pm \frac{\sqrt{6} }{3} $
+$y_3=   -\frac{\sqrt{6} }{3}  \Rightarrow    x_3=-\sqrt{6} $
+$y_4=         \frac{\sqrt{6} }{3}     \Rightarrow    x_4=\sqrt{6} $.
Hệ đã cho có  $4$  nghiệm:      $(-2; -1), (2;1),  (-\sqrt{6};- \frac{\sqrt{6} }{3} ),  (\sqrt{6};  \frac{\sqrt{6} }{3} )$

Ta có:                          $D=m^2-2m=m(m-2)$
                                    $D_x=m-2(m-1)=-(m-2)$
                                   $D_y=m^2-2m=m(m-2)$
a) Nếu  $m \neq 0$  và  $m \neq 2     \Rightarrow       D \neq 0$
     Hệ có nghiệm duy nhất
b) + Nếu  $m=0     \Rightarrow $  hệ có dạng:  $\begin{cases}0x+2y=1 \\ 0x+0y=-1 \end{cases}     \Rightarrow $    hệ vô nghiệm.  
     + Với  $m=2      \Rightarrow $  hệ có dạng:   $\begin{cases}2x+2y=1 \\ 2x+2y=1 \end{cases} $.
        Nghiệm của hệ là :  $\begin{cases}x\in \mathbb{R}  \\ y=\frac{1-2x}{2}  \end{cases} $  Hệ vô số nghiệm.

a) Tam thức triệt tiêu với $ x= \frac{1}{3}$ và $x= -\frac{2}{7}$ tức là PT $f(x)=0$ nhận hai giá trị đó làm nghiêm.
Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}-\frac{b}{a}= \frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21}\\ \frac{c}{a}= -\frac{1}{3}.\frac{2}{7}=-\frac{2}{21} \end{cases}         \Leftrightarrow             \frac{a}{21}=\frac{b}{-1}=\frac{c}{-2}$
Vậy khi $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện trên thì bài toán được giải.
                           
b) Thực chất bài toán là đi giải hệ phương trình sau
$\begin{cases}a.1+b.1+c=3 \\ a.\frac{1}{9}-b.\frac{1}{3}+c=3 \\c=4 \end{cases}         \Leftrightarrow                \begin{cases}a=-3\\b=2\\ c=4 \end{cases}$