Vì $a,b,c,d$ nguyên nên ta có: $a\ge1, c\ge b+1,d\le50$ suy ra:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\ge\dfrac{1}{b}+\dfrac{b+1}{50}=\dfrac{b^2+b+50}{50b}$
Ta có: $S\ge\dfrac{1}{b}+\dfrac{b}{50}+\dfrac{1}{50}$
Xét hàm: $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{50}+\dfrac{1}{50},x\in\mathbb{R},1\le x\le50$.
Ta có: $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{50}$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2=50 \Leftrightarrow x=\sqrt{50}$
Lập bảng biến thiên ta nhận được:
$f(x)$ nghịch biến trên $(0;\sqrt{50})$ và đồng biến trên $(\sqrt{50};+\infty)$.
Suy ra: $\min S=\min \{f(7),f(8)\}=f(7)=\dfrac{53}{175}$.
Vậy: $\min S=\dfrac{53}{175}\Leftrightarrow a=1,b=7,c=8,d=50$