Không mất tính tổng quát, giả sử: $x_1\le x_2\le\vdots\le x_7.Giả sử, không tồn tại 3 đoạn lập thành 1 tam giác, suy ra: x_{k}\ge x_{k-1}+x_{k-2},\forall 3\le k\le 7.Ta có: x_1,x_2\ge1.x_3\ge x_1+x_2\ge 1+1=2x_4\ge x_2+x_3\ge 1+2=3x_5\ge x_3+x_4\ge 2+3=5x_6\ge x_4+x_5\ge 3+5=8x_7\ge x_5+x_6\ge 5+8=13, vô lý vì d_i\le12$.Vậy có thể chọn ra 3 đoạn tạo thành 1 tam giác.
Không mất tính tổng quát, giả sử: $x_1\le x_2\le\ldots\le x_7.Giả sử, không tồn tại 3 đoạn lập thành 1 tam giác, suy ra: x_{k}\ge x_{k-1}+x_{k-2},\forall 3\le k\le 7.Ta có: x_1,x_2\ge1.x_3\ge x_1+x_2\ge 1+1=2x_4\ge x_2+x_3\ge 1+2=3x_5\ge x_3+x_4\ge 2+3=5x_6\ge x_4+x_5\ge 3+5=8x_7\ge x_5+x_6\ge 5+8=13, vô lý vì d_i\le12$.Vậy có thể chọn ra 3 đoạn tạo thành 1 tam giác.