|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Ta có: $\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx$ $=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}dx$ $=\int\limits_0^{2\pi}|\sin x+\cos x|dx$ $=\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}}(\sin x+\cos x)dx-\int\limits_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}}(\sin x+\cos x)dx+\int\limits_{\frac{7\pi}{4}}^{2\pi}(\sin x+\cos x)dx$ $=(\sin x-\cos x)\left|\begin{array}{l}\dfrac{3\pi}{4}\\0\end{array}\right.-(\sin x-\cos x)\left|\begin{array}{l}\dfrac{7\pi}{4}\\\dfrac{3\pi}{4}\end{array}\right.+(\sin x-\cos x)\left|\begin{array}{l}2\pi\\\dfrac{7\pi}{4}\end{array}\right.=4\sqrt2$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính nguyên hàm
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{1-x}=t \Rightarrow 1-x=t^2 \Rightarrow -dx=2tdt$ Ta có: $\int\dfrac{1}{x\sqrt{1-x}}dx$ $=-\int\dfrac{2tdt}{(1-t^2)t}$ $=\int\dfrac{2dt}{t^2-1}$ $=\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)dt$ $=\ln(t-1)-\ln(t+1)+C$ $=\ln(\sqrt{1-x}-1)-\ln(\sqrt{1-x}+1)+C$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tính tích phân hàm lượng giác
|
|
|
|
Đặt: $I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx; J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$ Đặt: $x=\dfrac{\pi}{2}-t \Rightarrow dx=-dt$ Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$ $x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$ Ta có: $I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ $=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^2\dfrac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt$ $=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt=J$ Mà $I+J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow I=\dfrac{\pi}{4}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{3\cos x+1}=t \Rightarrow 3\cos x+1=t^2 \Rightarrow -3\sin x=2tdt$ Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=2$ $x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$ Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin2x+\sin x}{\sqrt{3\cos x+1}}dx$ $=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x(2\cos x+1)}{\sqrt{3\cos x+1}}dx$ $=\dfrac{-2}{3}\int\limits_2^1\dfrac{\dfrac{2(t^2-1)}{3}+1}{t}tdt$ $=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2\left(\dfrac{2t^2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)dt$ $=\left(\dfrac{4t^3}{27}+\dfrac{2t}{9}\right)\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\dfrac{34}{27}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{x^2+4}=t \Rightarrow x^2+4=t^2 \Rightarrow xdx=tdt$ Đổi cận: $x=\sqrt5 \Rightarrow t=3$ $x=2\sqrt3 \Rightarrow t=4$ Ta có: $\int\limits_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}$ $=\int\limits_3^4\dfrac{tdt}{(t^2-4)t}$ $=\int\limits_3^4\dfrac{dt}{t^2-4}$ $=\dfrac{1}{4}\int\limits_3^4\left(\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t+2}\right)dt$ $=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{t-2}{t+2}\right|\left|\begin{array}{l}4\\3\end{array}\right.=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{5}{3}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Ta có: $\int\limits_0^{\sqrt3}\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$ $=x\ln(x+\sqrt{1+x^2})\left|\begin{array}{l}\sqrt3\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^{\sqrt3}xd(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\int\limits_0^{\sqrt3}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\int\limits_0^{\sqrt3}\dfrac{d(x^2+1)}{2\sqrt{x^2+1}}$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\sqrt{x^2+1}\left|\begin{array}{l}\sqrt3\\0\end{array}\right.$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-1$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tính tổng ??
|
|
|
|
Với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: $\sum_{i=1}^ni^3=\dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} (*)$ Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. Với $n=1$, ta có: $1^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}$ Như vậy $(*)$ đúng khi $n=1$ Giả sử $(*)$ đúng khi $n=k,k\in{\mathbb{N}^*}$. Ta cần chứng inh $(*)$ đúng với $n=k+1$, tức là: $\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$ Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: $\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2}{4}.(k^2+4k+4)=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$. Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$. |
|
|
|
bình luận
|
help me
Cách chứng minh định lý Pascal chỉ sử dụng kiến thức về định lý Menelaus, và cái này trong phạm vi kiến thức lớp 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
TÍnh tổng ??????
|
|
|
|
Ta có: $\sum_{i=0}^{100}x^i=(1+x)^{100}$$\Rightarrow \sum_{i=0}^{100}ix^{i-1}=100(1+x)^{99}$ (đạo hàm 2 vế)$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{100}ix^{i-1}=100(1+x)^{99}$
Ta có: $\sum_{i=0}^{100}x^i=\dfrac{1-x^{101}}{1-x}$$\Rightarrow \sum_{i=0}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$ (đạo hàm 2 vế)$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
TÍnh tổng ??????
|
|
|
|
Ta có: $\sum_{i=0}^{100}x^i=\dfrac{1-x^{101}}{1-x}$ $\Rightarrow \sum_{i=0}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$ (đạo hàm 2 vế) $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$ |
|
|
|
sửa đổi
|
xin mọi người giúp đỡ
|
|
|
|
Gọi 4 số cần tìm là: $a-3d,a-d,a+d,a+3d$.Ta có: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=20$$\Leftrightarrow 4a=20$$\Leftrightarrow a=5$Lại có: $(5-3d)(5-d)(5+d)(5-3d)=384$$\Leftrightarrow (25-9d^2)(25-d^2)=384$$\Leftrightarrow 9d^4-250d^2+241$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}d^2=1\\d^2=\dfrac{241}{9}\end{array}\right.$Từ đó suy ra 4 số cần tìm là: $(2;4;6;8)$ hoặc $(5-\sqrt{241};5-\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\sqrt{241})$
Gọi 4 số cần tìm là: $a-3d,a-d,a+d,a+3d$.Ta có: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=20$$\Leftrightarrow 4a=20$$\Leftrightarrow a=5$Lại có: $(5-3d)(5-d)(5+d)(5-3d)=384$$\Leftrightarrow (25-9d^2)(25-d^2)=384$$\Leftrightarrow 9d^4-250d^2+241=0$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}d^2=1\\d^2=\dfrac{241}{9}\end{array}\right.$Từ đó suy ra 4 số cần tìm là: $(2;4;6;8)$ hoặc $(5-\sqrt{241};5-\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\sqrt{241})$
|
|