1. Đặt: $a=x^2, b=y^2, c=z^2$ $(x,y,z>0)$.
BĐT tương đương với: $\sum \dfrac{x}{\sqrt{y^2+8z^2}}\ge 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: $\sum \dfrac{x}{\sqrt{y^2+8z^2}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{y^2+8z^2}}$
Ta chỉ cần chứng minh: $(x+y+z)^2\geq \sum x\sqrt{y^2+8z^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có: $\sqrt{y^2+8z^2}=\dfrac{(y+2z)\sqrt{y^2+8z^2}}{y+2z}\leq y+3z-\dfrac{3yz}{y+2z}$
Suy ra: $\sum x\sqrt{y^2+8z^2}\le 4(xy+yz+zx)-3xyz.\sum \dfrac{1}{y+2z}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: $3xyz.\sum \dfrac{1}{y+2z}\geqslant \dfrac{9xyz}{x+y+z}$
Dẫn tới ta chỉ cần chứng minh: $x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z}\ge 2(xy+yz+zx)$, đúng theo BĐT Schur.