1) Giả sử: $z=x+yi,x,y\in\mathbb{R}$.
Ta có:
$|z+\overline{z} +3|=4$
 $\Leftrightarrow |x+yi+x-yi+3|=4$
$\Leftrightarrow |2x+3|=4$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{-7}{2} \end{array} \right.$ 
Vậy tập hợp $M$ là 2 đường thẳng $ x=\frac{1}{2}$ và $x=\frac{-7}{2} $.

Giả sử: $z=x+yi,x,y\in\mathbb{R}$.
Ta có: $\Big|\frac{z}{z-i}\Big|=3 \Leftrightarrow \frac{|z|}{|z-i|}=3$ 
                                     $\Leftrightarrow |x+yi|=3|x+(y-1)i|$ 
                                     $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2}=3\sqrt{x^2+(y-1)^2}$ 
                                     $\Leftrightarrow 8x^2+8y^2-18y+9=0$ 
                                     $\Leftrightarrow x^2+(y-\frac{9}{8})^2=\frac{9}{64}$ 
Suy ra tập hợp các điểm biêu diễn sô phức $z$ thỏa mãn là đường tròn  tâm $I(0;\frac{9}{8})$, bán kính $R=\frac{3}{8}$

Giả sử: $z=x+yi,x,y\in\mathbb{R}$
Ta có: $\frac{z+i}{\overline{z}+i}=\frac{x+(y+1)i}{x-(y-1)i}$ 
                        $= \frac{[x+(y+1)i][x+(y-1)i]}{[x-(y-1)i][x+(y-1)i]}$ 
                        $=\frac{x^2-y^2+1+2xyi}{x^2+(y-1)^2}$ 
Vậy $ \frac{z+i}{\overline{z}+i} \in\mathbb{R}\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ y=0 \end{array} \right.$ 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn là 2 đường thẳng: $x=0$  và $y=0$

Đặt $t=\sin x, |t|\le 1$
Phương trình trở thành:
$8t^3-(3t-4t^3)^2-6t+t^2-2=0$ 
$\Leftrightarrow 8t^6-12t^4-4t^3+4t^2+3t+1=0$ 
$\Leftrightarrow (t-1)(8t^5+8t^4-4t^3-8t^2-4t-1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=1\\  8t^5+8t^4-4t^3-8t^2-4t-1=0\end{array} \right.$ 
Xét hàm: $f(t)= 8t^5+8t^4-4t^3-8t^2-4t-1$ 
ta được: $f(t)<0,\forall t\in[-1;1] $
Từ đó suy ra: $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ .

Đề bài như sau thì sẽ đẹp hơn:
$\left\{ \begin{array}{l} x^2+x^3y-xy^2+xy-y=1\\ x^4+y^2-xy(2x-1)=1\end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x^2-y)+xy+xy(x^2-y)=1\\ (x^2-y)^2+xy=1 \end{array} \right.$ 
Đặt $u=x^2-y,v=xy$ , hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} u+v+uv=1\\ u^2+v=1 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=1-u^2\\ u+(1-u^2)+u(1-u^2)=1 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=1-u^2\\ u^3+u^2-2u=0 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u=0\\ v=1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} u=1\\ v=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} u=-2\\ v=-3 \end{array} \right. \end{array} \right.$ 
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=0\\ v=1 \end{array} \right.$  ta được: $(x;y)=(1;1)$
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=1\\ v=0 \end{array} \right.$  ta được: $(x;y)\in\{(1;0),(-1;0),(0;-1)\}$
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=-2\\ v=-3 \end{array} \right.$  ta được: $(x;y)=(-1;3)$
Tóm lại :  $(x;y)\in\{(1;0),(-1;0),(0;-1),(1;1),(-1;3)\}$