Do $ \displaystyle x,\frac{2}{x}$ cùng dấu nên từ $(2)$ suy ra:
    $ \displaystyle x+\frac{2}{x}>0\Rightarrow x>0\Rightarrow x^3+4>0\Rightarrow x^2+2x-6>0$
    $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x <-1-\sqrt{7}\\x >-1+ \sqrt{7}\end{array} \right.\Leftrightarrow x>-1+\sqrt{7}\Rightarrow \begin{cases}x-1>0 \\ x^2+x-5>0 \end{cases}$.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
    $2\sqrt{x^3-6x+5}=2\sqrt{(x-1)(x^2+x-5)}\leq (x-1)+(x^2+x-5)=x^2+2x-6$
   và $ \displaystyle 3x^2=3.\sqrt[3]{\frac{x^3}{2}\frac{x^3}{2}.4}\leq \frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}+4=x^3+4$.
Suy ra $VT(1)\leq VP(1)$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2$, thỏa mãn $(2)$.
Vậy nghiệm của hệ là $x=2$.

1)
Điều kiện: $n\ge 1$
Ta có:
     $ C^2_{n+1}+2C^2_{n+2}+2C^2_{n+3}+C^2_{n+4}=149 $
$\Leftrightarrow \frac{(n+1)n}{2}+(n+2)(n+1)+(n+3)(n+2)+\frac{(n+4)(n+3)}{2}=149$ 
$\Leftrightarrow 3(n^2+4n-45)=0$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n=5\\ n=-9 \end{array} \right.\Leftrightarrow n=5$, vì $n\ge1$ 

Giả thiết tương đương với:
      $\frac{4}{3}+x+y+z\ge x^2+y^2+z^2$
$\Rightarrow  \frac{4}{3}+x+y+z\ge\frac{1}{3}(x+y+z)^2$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^2-3(x+y+z)-4\le0$
$\Leftrightarrow -1\le x+y+z\le4$ 

Đặt $t=\sin x \Rightarrow t\in[0,1]$
Xét hàm: $g(t)=t(1-t^2), t\in[0,1]$
Ta có: $g'(t)=1-3t^2$
          $g'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt3}$
Từ đó suy ra:
$\min_{t\in[0,1]} g(t)=\min \{ g(0),g(1),g(\frac{1}{\sqrt3}) \}=g(0)=g(1)=0$
$\max_{t\in[0,1]} g(t)=\max \{ g(0),g(1),g(\frac{1}{\sqrt3}) \}=g(\frac{1}{\sqrt3})=\frac{2}{3\sqrt3}$  

Mình hoàn thiện bài này ở đây rồi nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113577/gtln-gtnn  

Ta có:
$z^4+4z^2+6=z$
$\Leftrightarrow (z^2-z+2)(z^2+z+3)=0$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} z=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{7})\\ z=\frac{1}{2}(1-i\sqrt{7}) \\ z=\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{11}) \\ z=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{11})  \end{array} \right.$ 

Phương tình tương đương với: $(\frac{2}{5})^{x^2-x}+ (\frac{3}{5})^{x^2-x} =2$
Xét hàm: $f(t)= (\frac{2}{5})^t+ (\frac{3}{5})^t,t\in\mathbb{R}$
Ta có: $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Mà $f(0)=2$
Suy ra : $x^2-x=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=0 \end{array} \right.$

$\sin(\sin2x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} \sin2x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\\sin2x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right., k\in\mathbb{Z}$
                                   $\Leftrightarrow \sin2x=\frac{\pi}{6}$, vì $|\sin2x|\le1$
                                   $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}\arcsin\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arcsin\frac{\pi}{6}+k\pi  \end{array} \right., k\in\mathbb{Z} $