Vì $f$ tuần hoàn chu kì $T=1$, suy ra: $x+2009=x,\forall x$
$\Rightarrow \int\limits_0^1xdx=\int\limits_0^1(x+2009)dx$
                      $=\int\limits_0^1(x+2009)d(x+2009)=\int\limits_{2009}^{2010}tdt$ , đpcm.

$(2+3i)z=z-1\Leftrightarrow (1+3i)z=-1$
                                       $\Leftrightarrow z=\frac{-1}{3i+1}$ 
                                       $\Leftrightarrow z=\frac{3i-1}{10}$ 

2.
Ta có:
$I_1=\int\sin xdx=-\cos x+C$
$I_3=\frac{-\sin^2x\cos x}{3}+\frac{2}{3}I_1= \frac{-\sin^2x\cos x}{3}-\frac{2}{3}\cos x+C$ 

1,
Ta có:
$I_n=\int\sin^nxdx=-\int\sin^{n-1}xd(\cos x)$ 
       $=-\sin^{n-1}x\cos x+\int\cos xd(\sin^{n-1}x)$ 
       $=-\sin^{n-1}x\cos x+\int\cos x.(n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx$
       $=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\int(1-\sin^2x)\sin^{n-2}xdx$
       $=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)(I_{n-2}-I_n)$
$\Rightarrow I_n=\frac{-\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ 

Gọi $\mathscr{D}(\Delta)$ là phép đối xứng trục $(\Delta)$.
Gọi $d$ là trung trực $AA_1$.
Giả sử: $\mathscr{D}(d): A\rightarrow A_1$
                              $B\rightarrow B'$
Nếu $B'\equiv B_1$ , suy ra điều phải chứng minh.
Nếu $B'\not\equiv B_1$ , gọi $d'$ là trung trực $B'B_1$.
Ta có: $A_1B_1=AB=A_1B' \Rightarrow A_1\in(d')$
Suy ra: $\mathscr{D}(d'):A_1\rightarrow A_1$
                                $B'\rightarrow B_1$ 
Dẫn tới: $\mathscr{D}(d')\circ\mathscr{D}(d): A\rightarrow A_1$
                                                  $B\rightarrow B_1$               (đpcm).

Ta có: $\angle APM=90^o-\angle AMP=\angle QMB$ 
       $\Rightarrow \triangle APM\sim\triangle BMQ \Rightarrow \frac{AM}{AP}=\frac{BQ}{BM}$
Mà: $AM=NB, AN=MB \Rightarrow \frac{BN}{AP}=\frac{BQ}{AN} \Leftrightarrow \frac{BN}{BQ}=\frac{AP}{AN}$
Suy ra: $\triangle BNQ\sim\triangle APN$
         $\Rightarrow\angle BNQ+\angle ANP=\angle APN+\angle ANP=90^o$
         $\Rightarrow \angle PNQ=90^o$ , đpcm.

Bài này đã có trong thư viện.
Lời giải như sau:

Xét hàm số $ y = \ln x , x \geq 1 $ thì hàm số ngược của nó là $x=e^y$
Từ đồ thị , ta có : $S_1+S_2 \geq S{OBCA} \Leftrightarrow  \int\limits_{1}^{b} \ln xdx + \int\limits_{0}^{a}e^ydy \geq ab$
$\Leftrightarrow  b. \ln b - b + 1 + e^a - 1 \geq ab     \Leftrightarrow  b(a+1)\leq  e^a + b.\ln b.$  

$\cos 2A+ \cos 2B + \cos 2C \geq  -1   \Leftrightarrow   \cos A. \cos B. \cos C \leq  0   \Rightarrow   \Delta ABC$ không nhọn.
Giả sử   $A \geq  \frac{\pi}{2}   \Rightarrow  B+C \leq  \frac{\pi }{2}   \Rightarrow     0< \frac{B+C}{2} \leq  \frac{\pi}{4}  $
$\sin A + \sin B + \sin C \leq  1+2\sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}  \leq  1+2 \sin \frac{B+C}{2}   $
                                              $\leq 1+2\sin \frac{\pi}{4} =1+\sqrt{2}  $

1)
Đặt: $f(x)=x^2-2(m+1)x-m+1$ .
TH1: $f(x)=0$ có nghiệm kép  $\Leftrightarrow\Delta'=0$
                                            $\Leftrightarrow (m+1)^2+m-1=0$
                                            $\Leftrightarrow m^2+3m=0$ 
                                            $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=0\\ m=-3 \end{array} \right.$ 
Với $m=0$ thì $f(x)=0$  có nghiệm kép $x=1$, thỏa mãn.
Với $m=-3$ thì $f(x)=0$  có nghiệm kép $x=-2$, loại
TH2: $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} m>0\\m<-3 \end{array} \right.$
$f(x)=0$  có nghiệm dương $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -m+1<0\\\left\{ \begin{array}{l} -m+1\ge 0\\ m+1>0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m>-1$
Từ đó suy ra: $m>0$ 

Vậy $m\ge0$  thỏa mãn đề bài.

Ta có: $y=1-x$, từ đó $P=3^{2x} +3^{1-x}=3^{2x}+\frac{1}{3^x}$ với $0 \le x\le1$
Đặt $t=3^x$ khi đó $1\le t \le 3$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+\frac{3}{t}\Rightarrow f'(t)=2t-\frac{3}{t^2}=\frac{2t^3-3}{t^2}$.
Từ đó có bảng biến thiên sau:

Vậy $\max P=\max f(t)=\max (f(1);f(3))=\max (4;10)=10\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases}$
$\min P=\min f(t) =f(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})=3\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow \begin{cases}x= \log_3\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\\ y=1-\log_3 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \end{cases}$.

Ta có:
$M=\sin x+\cos x-\tan(-x)\cot x$
      $=\sin x+\cos x+1$ 

$N=-\cos x-2\sin x+\cos x+2\cos x$
      $=2\cos x-2\sin x$ 

c) 
Tử thức của C:
$\sin^4x+3\cos^4x-1=\sin^4x+\cos^4x+2\cos^4x-1$
                                           $=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+2\cos^4x-1$
                                           $=2\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)$
Mẫu thức của C:
$\sin^6x+\cos^6x+3\cos^4x-1=1-3\sin^2x\cos^2x+3\cos^4x-1$
                                                             $=3\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)$

$\Rightarrow B=\frac{2\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)}{3\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)}=\frac{2}{3}$