Giả sử phản chứng: $3\nmid b,3\nmid c$
$\Rightarrow b^2\equiv c^2\equiv 1$ (mod $3$) 
$\Rightarrow a^2\equiv 2$ (mod $3$ ), vô lý.
Vậy $b$  hoặc $c$ chia hết cho 3.

Ta có: $m\ne2$
$y=1-\frac{m-2}{x-2}\Rightarrow y'=\frac{m-2}{(x-2)^2}$
Giả sử $A(a,y(a)), B(b,y(b)),a\ne b$.
Tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau khi và chỉ khi:
$y'(a)=y'(b)\Leftrightarrow \frac{m-2}{(a-2)^2}= \frac{m-2}{(b-2)^2} $ 
                             $\Leftrightarrow a-2=2-b $
                             $\Leftrightarrow a+b=4$ 
Khi đó:
$y(a)+y(b)=1-\frac{m-2}{a-2}+1-\frac{m-2}{b-2}$ 
                         $= 1-\frac{m-2}{a-2}+1-\frac{m-2}{2-a} =2$ 
Suy ra trung điểm $AB$ là: $I(2;1)$ 

Hệ tương đương với:
      $\left\{ \begin{array}{l} xy+1=7y-x\\ (xy+1)^2-xy=13y^2 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy+1=7y-x\\ (7y-x)^2-xy-13y^2=0 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy+1=7y-x\\36y^2-15xy+x^2=0 \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=3y\\ xy+1+x-7y=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=12y\\ xy+1+x-7y=0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=3y\\ 3y^2-4y+1=0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x=12y\\ 12y^2+5y+1=0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=1 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=\frac{1}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.$ 
Vậy: $(x,y)\in\{(3;1),(1;\frac{1}{3})\}$ 

Phương trình tương đương với:
      $\sin17x=\frac{\sqrt3}{2}\cos 5x-\frac{1}{2}\sin5x$ 
$\Leftrightarrow \sin17x=\sin(\frac{\pi}{3}-5x)$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  17x=\frac{\pi}{3}-5x+k2\pi\\ 17x=\frac{2\pi}{3}+5x+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$ 
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{66}+\frac{k}{11}\pi\\ x=\frac{\pi}{18}+\frac{k}{6}\pi \end{array} \right. ,k\in\mathbb{Z} $ 

Hàm số đạt cực trị tại $a$ khi: $y'(a)=0$
Ta có: $y(m)=y(n)=y(p)=0$ 
Áp dụng định lý Rolle thì:
Tồn tại $x_1,x_2$ với $m<x_1<n<x_2<p$  thỏa mãn: $y'(x_1)=y'(x_2)=0$, đpcm.

Bất phương trình đã cho tương đương với: $16^{x^2}<81^{x-1}$
Ta có:
$(x-2)^2\ge0 \Leftrightarrow x^2\ge4(x-1)$
                             $\Rightarrow 3^{4(x-1)}\le3^{x^2}\le16^{x^2}$ 
                             $\Rightarrow $  bất phương trình vô nghiệm.

     Đặt $S_{MBC}=S_a, S_{MAC}=S_b, S_{MAB}=S_c$.
 

Xét $f(x)=ax^3+bx+c$.
Ta có: $f(1)=a+b+c$ 
            $f(\frac{1}{2})=\frac{a}{8}+\frac{b}{2}+c$ 
            $f(0)=c$ 
Suy ra: $f(1)+4f(\frac{1}{2})+f(0)=\frac{3}{2}(a+2b+4c)=0$ 
*) Nếu $f(\frac{1}{2})=0$ , đpcm.
*) Nếu $f(\frac{1}{2})\ne0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} f(1)f(\frac{1}{2})<0\\ f(0)f(\frac{1}{2})<0  \end{array} \right.$, đpcm.