a.
Vì $A\in(d)$ nên giả sử $A(3+2a;-a;1+3a)$
Vì $A\in(P)$ nên: $3+2a-a+1+3a=0\Leftrightarrow a=-1$
Vậy $A(1;1;-2)$

b.
Vì $d//d'$ nên véc-tơ chỉ phương của $(d')$ là: $\overrightarrow {u}=(1;3;-6)$
Mà $M(1;4;-2)\in(d')$ nên phương trình $(d')$ là: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z+2}{-6}$

a.
Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow {n_1}=(3;1;1)$
Véc-tơ pháp tuyến của $(Q)$ là: $\overrightarrow {n_2}=(3;-5;-2)$
 Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {u}=[\overrightarrow {n_1};\overrightarrow {n_2}]=(3;9;-18)=3(1;3;-6)$
Mà dễ thấy $A(-\frac{13}{36};\frac{-5}{12};0)\in(d)$.
Phương trình chính tắc của $(d)$ là: $\frac{x+\frac{13}{36}}{1}=\frac{y+\frac{5}{12}}{3}=\frac{z}{-6}$
Phương trình tham số của $(d)$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{-13}{36}+t\\ y=\frac{-5}{12}+3t\\z=-6t \end{array} \right.$

b.
Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow {n_1}=(1;3;-1)$
Véc-tơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là: $\overrightarrow {n_2}=(1;0;-2)$
 Véc-tơ pháp tuyến của $(\beta)$ là: $\overrightarrow {n_3}=(0;1;-2)$
 Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {u_1}=[\overrightarrow {n_2};\overrightarrow {n_3}]=(2;2;1)$
 Véc-tơ chỉ phương của $(d')$ là: $\overrightarrow {u_2}=[\overrightarrow {n_1};\overrightarrow {u_1}]=(5;-3;-4)$
 Suy ra phương trình $(d')$ là: $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+1}{-4}$

a.
Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x+3y-z+4=0\\x-2z-3=0\\y-2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-2\\z=-1 \end{array} \right.$
Vậy $A(1;-2;-1)$

b.
Vì $N\in(d)$ nên tọa độ $N$ là: $N(-1+2n;1+n;2+3n)$
Vì $N\in(P)$ nên: $-1+2n-(1+n)-(2+3n)-1=0\Leftrightarrow n=\frac{-5}{2}\Rightarrow N(-6;\frac{-3}{2};\frac{-11}{2})$
Giả sử tọa độ $K$ là: $K(-1+2k;1+k;2+3k)$
Khi đó: $\overrightarrow {MK}=(-2+2k;k;4+3k);\overrightarrow {NK}=(5+2k;\frac{5}{2}+k;\frac{15}{2}+3k)$
$MK=NK\Leftrightarrow (-2+2k)^2+k^2+(4+3k)^2=(5+2k)^2+(\frac{5}{2}+k)^2+(\frac{15}{2}+3k)^2$
                        $\Leftrightarrow k=-\frac{5}{4}$
Vậy tọa độ $K$ là: $K(-\frac{7}{2};-\frac{1}{4};-\frac{7}{4})$

a.
Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {u_1}=(2;1;3)$
Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow {u_2}=(1;-1;-1)$
Véc-tơ chỉ phương của $(\Delta)$ là: $\overrightarrow {u}=[\overrightarrow {u_1};\overrightarrow {u_2}]=(2;5;-3)$
 Mà $M(1;1;-2)\in(\Delta)$ nên phương trình $(\Delta)$ là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$

Giả sử $(d')$ cắt $(d)$ tại $M(2m;4m;-1+3m)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {u_1}=(2;4;3)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d')$ là: $\overrightarrow {u_2}=\overrightarrow {AM}=(2m-3;4m-2;3m-2)$
 Vì $d\perp d'\Rightarrow \overrightarrow {u_1}.\overrightarrow {u_2}=0\Leftrightarrow 2(2m-3)+4(4m-2)+3(3m-2)=0\Leftrightarrow m=\frac{20}{29}$
Khi đó: $\overrightarrow {u_2}=(\frac{-47}{29};\frac{22}{29};\frac{2}{29})=\frac{1}{29}(-47;22;2)$
Suy ra phương trình $(d')$ là: $\frac{x-3}{-47}=\frac{y-2}{22}=\frac{z-1}{2}$

Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow {n}=(2;1;0)$
Giả sử $(d)$ cắt $Oy$ tại $M(0;m;0)$.
Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {AM}=(-3;m+1;4)$
Vì $d//(P)$ nên $\overrightarrow {n}.\overrightarrow {AM}=0\Leftrightarrow 2.(-3)+1(m+1)+0.4=0\Leftrightarrow m=5$
Khi đó: $\overrightarrow {AM}=(-3;6;4)$, phương trình $(d)$ là: $\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{6}=\frac{z+4}{4}$

Véc-tơ pháp tuyến của $(P),(Q)$ lần lượt là: $\overrightarrow {n_1}=(1;1;-1);\overrightarrow {n_2}=(1;0;0)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d_2)$ là: $\overrightarrow {u_1}=[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow {n_2}]=(0;-1;-1)$
Mà dễ thấy $B(-1;-1;0)\in(d_2)$ nên phương trình $(d_2)$ là: $\frac{x+1}{0}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-1}$
Giả sử $(d)$ cắt $(d_2)$ tại $A(-1;-1-a;-a)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d_1)$ là: $\overrightarrow {u_2}=(3;4;1)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow {u_3}=\overrightarrow {AM}=(1;2+a;1+a)$
 Vì $d\perp d_1\Rightarrow \overrightarrow {u_2}.\overrightarrow {u_3}=0\Leftrightarrow 3.1+4(2+a)+1(1+a)=0\Leftrightarrow a=-\frac{12}{5}$
Khi đó: $\overrightarrow {u_3}=(1;\frac{-2}{5};\frac{-7}{5})$, phương trình $(d)$ là:
$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{\frac{-2}{5}}=\frac{z-1}{\frac{-7}{5}}\Leftrightarrow \frac{x}{5}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-7}$

Véc-tơ chỉ phương của $(d_1),(d_2)$ lần lượt là: $\overrightarrow {u_1}=(3;-2;-1),\overrightarrow {u_2}=(2;3;-5)$
Véc-tơ chỉ phương của $(d)$ là:
$\overrightarrow {u}=[\overrightarrow {u_1};\overrightarrow {u_2}]=(13;13;13)$
Mà $(d)$ đi qua $A(-4;-5;3)$ nên phương trình của $(d)$ là:
$\frac{x+4}{13}=\frac{y+5}{13}=\frac{z-3}{13}\Leftrightarrow \frac{x+4}{1}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-3}{1}$

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là: $\overrightarrow {AB}=(6;1;-5)$
Mà $(d)$ đi qua $A(-2;1;3)$ nên phương trình theo tham số của $(d)$ là:
$(d):\left\{ \begin{array}{l} x=-2+6t\\ y=1+t\\z=3-5t \end{array} \right.$

Điền tùy ý các số $0,1$ vào các ô vuông của bảng $(n-1)\times(n-1)$(màu lam)  ở góc của bảng $n\times n$.
Với $n-1$ ô vuông đầu tiên của hàng cuối cùng (màu vàng), ta có duy nhất 1 cách điền số vào mỗi ô để tổng các số ở $n-1$ cột đầu tiên đều là số chẵn.
Với $n-1$ ô vuông đầu tiên của cột cuối cùng (màu lục), ta có duy nhất 1 cách điền số vào mỗi ô để tổng các số ở $n-1$ hàng đầu tiên đều là số chẵn.
Với ô vuông cuối cùng ở góc (màu đỏ), dễ thấy có duy nhất 1 cách điền số để tổng các số ở hàng cuối cùng và cột cuối cùng là số chẵn.
Vậy số bảng thỏa mãn là: $2^{(n-1)^2}$