*) Tìm Min
Khi cho $x\rightarrow 1^-$ thì $P\rightarrow +\infty$, suy ra không tồn tại Max$P$.

*) Tìm Min
Bạn xem lời giải tại đây:

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113794/chung-minh-giup-minh

Bạn chú ý tìm kiếm trong thư viện trước xem bài bạn muốn hỏi đã có trong đó hay chưa nhá.
Bạn xem đáp án tại đây nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/108021/bai-108021

Nhận thấy: Cứ 2 đường thẳng của họ này cắt với 2 đường thẳng của họ kia sẽ cho ta một hình bình hành và mỗi hình bình hành thì đều được tạo thành từ việc 2 đường thẳng của họ này cắt với 2 đường thẳng của họ kia.
 Có $C_{10}^2$ cách chọn 2 đường thẳng từ họ thứ nhất.
 Có $C_6^2$ cách chọn 2 đường thẳng từ họ thứ hai.
 Suy ra có: $C_{10}^2.C_6^2=675$ hình bình hành.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos(2x+45^o)\ne0\\\cos(180^o-\frac{x}{2})\ne0\end{array}\right.$
Phương trình tương đương với:
      $\tan(180^o-\frac{x}{2})=\cot(2x+45^o)$
$\Leftrightarrow \tan(180^o-\frac{x}{2})=\tan(45^o-2x)$
$\Leftrightarrow 180^o-\frac{x}{2}=45^o-2x+k.180^o,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow x=-90^o+k.120^o,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.

c.
Số khả năng của 2 con xúc xắc là: $6.6.=36$
Số khả năng tổng số chấm 2 lần bằng 9 là: $4$ $(9=3+6=4+5=5+4=6+3)$
Xác suất phải tìm là: $p=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

b.
Số khả năng của 2 con xúc xắc là: $6.6.=36$
Số khả năng mặt 3 chấm xuất hiện ở lần thứ hai là: $6$
Xác suất phải tìm là: $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

a.
Số khả năng của 2 con xúc xắc là: $6.6.=36$
Số khả năng mặt 3 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần là: $6+6-1=11$
Xác suất phải tìm là: $p=\frac{11}{36}$

c.
Số cách chọn 6 bông hoa từ 18 bông hoa là: $C_{18}^6$
Số cách chọn có đúng 1 bông tím là: $C_6^1.C_{12}^5$
Số cách chọn có đúng 3 bông tím là: $C_6^3.C_{12}^3$
Số cách chọn có đúng 5 bông tím là: $C_6^5.C_{12}^1$
Xác suất cần tìm là: $p=\frac{C_6^1.C_{12}^5+C_6^3.C_{12}^3+C_6^5.C_{12}^1}{C_{18}^6}\approx 0,4969$

b.
Số cách chọn 6 bông hoa từ 18 bông hoa là: $C_{18}^6$
Số cách chọn có đúng 4 bông vàng là: $C_5^4.C_{13}^2$
Số cách chọn có đúng 5 bông vàng là: $C_5^5.C_{13}^1$
Xác suất cần tìm là: $p=\frac{C_5^4.C_{13}^2+C_5^5.C_{13}^1}{C_{18}^6}\approx 0,0217$

a.
Số cách chọn 6 bông hoa từ 18 bông hoa là: $C_{18}^6$
Số cách chọn có đúng 2 bông đỏ là: $C_7^2.C_{11}^4$
Xác suất cần tìm là: $p=\frac{C_7^2.C_{11}^4}{C_{18}^6}\approx 0,3733$

Bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y},\forall x,y>0$
Ta có:
$S=\frac{ab}{1+c}+\frac{ac}{1+b}+\frac{bc}{1+a}$
    $=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{ac}{(a+b)+(c+b)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}$
    $\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)$
    $=\frac{1}{4}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}\right)$
    $=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$
Max$S=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

*) Tìm Max:
Ta có: $Y=\{2x_i;x_i\in X\}\cup\{x_i+x_j;x_i;x_j\in X,i\ne j\}$
Dễ thấy: $C(X)=|Y|\le n+C_n^2=\frac{n(n+1)}{2}$
Ta chứng minh tồn tại tập $X$ sao cho $C(X)=\frac{n(n+1)}{2}$
Thật vậy, chọn $X=\{x_i;x_i=n(i^2-1)+i,\forall i=\overline{1,n}\}$.
Giả sử tồn tại $1\le i,j,k,l\le n$ sao cho: $x_i+x_j=x_k+x_l$
$\Leftrightarrow n(i^2+j^2-2)+i+j=n(k^2+l^2-2)+k+l$
Không mất tính tổng quát giả sử: $i+j\ge k+l\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} i+j=k+l+n\\ i+j=k+l \end{array} \right.$
Nếu $i+j=k+l+n\Rightarrow i^2+j^2=k^2+l^2-1$
Mà ta có: $2(i^2+j^2)\ge(i+j)^2\Rightarrow 2(k^2+l^2-1)\ge(k+l+n)^2$
                      $\Rightarrow (k-l)^2-2\ge n^2+2n(k+l)$, vô lý
Nếu $i+j=k+l\Rightarrow i^2+j^2=k^2+l^2\Rightarrow ij=kl\Rightarrow \{i;j\}=\{k;l\}$, vô lý
Suy ra: $x_i+x_j\ne x_k+x_l,\forall 1\le i,j,k,l\le n$.
Vậy Max$C(X)=\frac{n(n+1)}{2}$

*) Tìm Min:
Đặt $Y=\{x_i+x_j;x_i,x_j\in X\} $
Suy ra: $C(X)=|Y|$.
Không mất tính tổng quát giả sử: $x_1<x_2<\ldots<x_n$.
Ta có:
$x_1+x_1<x_1+x_2<x_1+x_3<\ldots<x_1+x_n<x_2+x_n<x_3+x_n<\ldots<x_n+x_n$
Mà $x_1+x_j\in Y, x_i+x_n\in Y$
Suy ra: $C(X)=|Y|\ge 2n-1$
Ta chứng minh tồn tại tập $X$ sao cho $C(X)=2n-1$
Thật vậy, chọn $X=\{1;2;3;\ldots;n\}$ thỏa mãn.
Vậy Min$C(X)=2n-1$