Điều kiện: $x>1$
Phương trình tương đương với:
     $(x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})^2=\frac{1225}{144}$
$\Leftrightarrow x^2+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{x^2}{x^2-1}-\frac{1225}{144}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2-1}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1225}{144}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{25}{12}$
$\Leftrightarrow 12x^2=25\sqrt{x^2-1}$
$\Leftrightarrow 144x^4-625x^2+625=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{5}{4}\\x=\frac{5}{3} \end{array} \right.$

*) Tìm Max
Ta có:
$0\le xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow -\frac{1}{16}\le xy-\frac{1}{16}\le\frac{3}{16}\Rightarrow |xy-\frac{1}{16}|\le\frac{3}{16}$
Suy ra:
$S=16(xy-\frac{1}{16})^2+\frac{191}{16}\le16.(\frac{3}{16})^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}$
Max$S=\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

*) Tìm Min
Ta có:
$S=16x^2y^2+12(x^3+y^3)+34xy$
    $=16x^2y^2+12(x+y)^3-36xy+34xy$
    $=16x^2y^2-2xy+12$
    $=16(xy-\frac{1}{16})^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}$
Min$S=\frac{191}{16}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y=1\\ xy=\frac{1}{16} \end{array} \right. \Leftrightarrow (x,y)\in\{(\frac{2+\sqrt3}{4};\frac{2-\sqrt3}{4});(\frac{2-\sqrt3}{4};\frac{2+\sqrt3}{4})\}$

Bạn xem ở đây nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113911/giai-giup-minh-he-voi

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow xyz=1$
BĐT cần chứng minh trở thành:
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$
$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}=y$
$\frac{z^2}{y+x}+\frac{y+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{y+x}.\frac{y+x}{4}}=z$
Suy ra:
 $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$
 Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có;
      $\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x & & \\ 1+y^2=5(1+x^2)& & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3=4(4x-y)\\ y^2-5x^2=4 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-5x^2=4\\ x^3-y^3=(y^2-5x^2)(4x-y) \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-5x^2=4\\ x(7x-4y)(3x+y)=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y^2-5x^2=4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 7x=4y\\ y^2-5x^2=4 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} 3x=-y\\ y^2-5x^2=4 \end{array} \right.\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=\pm2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-3 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ y=3 \end{array} \right. \end{array} \right.$

Gọi $x$ là số học sinh nhận 1 cuốn sách toán và 1 cuốn sách hóa.
       $y$ là số học sinh nhận 1 cuốn sách toán và 1 cuốn sách lý.
       $z$ là số học sinh nhận 1 cuốn sách lý và 1 cuốn sách hóa.
 Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=5\\ y+z=7\\z+x=8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=2\\z=5 \end{array} \right.$
Ta có:
Có $C_{10}^3$ cách chọn 3 học sinh nhận 1 cuốn sách toán và 1 cuốn sách hóa.
Có $C_7^2$ cách chọn 2 học sinh nhận 1 cuốn sách toán và 1 cuốn sách lý.
Suy ra có: $C_{10}^3.C_6^2=1800$ cách chia.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $a\ge b$.
Vì $a^b=b^c\Rightarrow b\le c$
Vì $b^c=c^d\Rightarrow c\ge d$
Vì $c^d=d^e\Rightarrow d\le e$
Vì $d^e=e^a\Rightarrow e\ge a$
Vì $e^a=a^b\Rightarrow a\le b$
Suy ra: $a=b\Rightarrow a=b=c=d=e$, đpcm.

Ta sẽ chứng minh: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\in\mathbb{N^*},n\ge2$.             (*)
Với $n=2$, ta có: $1+\frac{1}{4}<2-\frac{1}{2}$, đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k,k\ge2$, hay $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{k}$
Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$.
Thật vậy,
     $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{(k+1)^2}$
$<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$
$<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$
$=2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
$=2-\frac{1}{k+1}$, đpcm.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\in\mathbb{N^*},n\ge2$.

b.
Ta có: $s_1=\sin(3.\frac{\pi}{6})=1$
            $s_2=\sin(7.\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$
            $s_3=\sin(11.\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$
 Mà: $s_{n+3}=s_n,\forall n\in\mathbb{N^*}$ nên:
$\sum_{i=1}^{15}s_i=5(s_1+s_2+s_3)=0$

a.
Ta có:
$s_{n+3}=\sin[4(n+3)-1]\frac{\pi}{6}$
          $=\sin[(4n-1)\frac{\pi}{6}+2\pi]$
          $=\sin[(4n-1)\frac{\pi}{6}]=s_n,\forall n\in\mathbb{N^*}$

TH1: Chữ số đầu tiên là chữ số $8$.
Có $C_{n-1}^1=n-1$ cách chọn vị trí cho chữ số $8$ còn lại.
Có $9^{n-2}$ cách chọn giá trị cho $n-2$ chữ số còn lại.

TH2: Chữ số đầu tiên không phải là chữ số $8$.
Có $8$ cách chọn giá trị cho chữ số đầu tiên
Có $C_{n-1}^2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ cách chọn vị trí 2 cho chữ số $8$.
Có $9^{n-3}$ cách chọn giá trị cho $n-3$ chữ số còn lại.

Suy ra số các số thỏa mãn là:
$(n-1)9^{n-2}+8.\frac{(n-1)(n-2)}{2}.9^{n-3}=(n-1)(4n+1)9^{n-3}$

b.
Ta có: $u_1=\cos(3.\frac{\pi}{3})=-1$
           $u_2=\cos(7.\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
           $u_3=\cos(11.\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
 Mà: $u_{n+3}=u_n,\forall n\in\mathbb{N^*}$ nên:
$\sum_{i=1}^{12}u_i=4(u_1+u_2+u_3)=0$