Bài 1:
Ta có:
$x+y+z=0\Rightarrow (x+y+z)^2=0$
                            $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+xz)$
Khi đó:
     $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$
$=2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)$
$=3(x^2+y^2+z^2)$
Suy ra: $\frac{x^2+y^2+z^2}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{3(z^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{3}$

Đặt: $f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3}), t\in\mathbb{R}$
Ta có:
$f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}-t.\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}$
           $=2+\frac{3}{\sqrt{t^2+3}}>0,\forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Phương trình đã cho tương đương với:
      $(2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})=(-3x)(2+\sqrt{(-3x)^2+3})$
$\Leftrightarrow f(2x+1)=f(-3x)$
$\Leftrightarrow 2x+1=-3x$
$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}$

2.
Phương trình tương đương với:
    $x^2-3x-13=\sqrt{x^2-3x+7}$
Đặt $\sqrt{x^2-3x+7}=y;y\ge0$, phương trình trở thành:
       $y^2-20-y=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=5\\y=-4&\rm{loại}\end{array}\right.$
Khi đó: $\sqrt{x^2-3x+7}=5$
$\Leftrightarrow x^2-3x-18=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=6\\x=-3\end{array}\right.$

Điều kiện: $x^2+5x+2\ge0$
Đặt $\sqrt{x^2+5x+2}=y;y\ge0$, phương trình trở thành:
      $y^2+2-3y=6$
$\Leftrightarrow y^2-3y-4=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=4\\y=-1&\rm{loại}\end{array}\right.$
Khi đó: $\sqrt{x^2+5x+2}=4$
$\Leftrightarrow x^2+5x-14=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-7\\x=2\end{array}\right.$

Điều kiện: $x^2\le17$
Đặt: $\sqrt{17-x^2}=y;y\ge0$
Ta nhận được hệ:
$\left\{\begin{array}{l}x+y+xy=9\\x^2+y^2=17\end{array}\right.$
Đặt: $x+y=S;xy=P;S^2\ge4P$
Hệ trở thành: $\left\{\begin{array}{l}S+P=9\\S^2-2P=17\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P=9-S\\S^2-2(9-S)=17\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P=9-S\\S^2+2S-35=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}S=5\\P=4\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}S=-7\\P=16\end{array}\right.&\rm{loại}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=5\\xy=4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=4\end{array}\right.\end{array}\right.$
Vậy: $x\in\{1;4\}$

Đặt: $\sqrt[3]{8-x}=a,\sqrt[3]{x+27}=b$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a^2-ab+b^2=7\\a^3+b^3=35\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=5\\a^2-ab+b^2=7\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=5\\(a+b)^2-3ab=7\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ab=6\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=2\\b=3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=2\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-19\\x=0\end{array}\right.$

Điều kiện: $\frac{-35}{2}\le x\le\frac{47}{2}$
Đặt: $a=\sqrt[4]{47-2x};b=\sqrt[4]{35+2x}$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a+b=4\\a^4+b^4=82\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4-b\\(4-b)^4+b^4=82\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4-b\\2b^4-16b^3+96b^2-256b+174=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4-b\\2(b-3)(b-1)(b^2-4b+29)=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=1\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=23\\x=-17\end{array}\right.$

Điều kiện: $x\le \frac{1}{2}$
Đặt: $a=\sqrt{\frac{1}{2}-x};b=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\a^2+b^3=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1-b\\(1-b)^2+b^3=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1-b\\b^3+b^2-2b=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=0\\b=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=-2\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x=-\frac{1}{2}\\x=-\frac{-17}{2}\end{array}\right.$

Điều kiện: $|x|\le 1$
Đặt: $a=\sqrt{1-x^2};b=\sqrt[3]{1-x^2}$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a+2b=3\\a^2+b^3=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3-2b\\(3-2b)^2+b^3=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3-2b\\b^3+4b^2-12b+7=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=8+\sqrt{33}\\b=\frac{1}{2}(-5-\sqrt{33})\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a=8-\sqrt{33}\\b=\frac{1}{2}(-5+\sqrt{33})\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x=0$

Điều kiện: $x\ge -1$
Đặt: $a=\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}};b=\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a+b=4\\a^3+b^3=16\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}b=4-a\\a^3+(4-a)^3=16\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}b=4-a\\12a^2-48a+48=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2\\b=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x=0$

Điều kiện: $x\ge 0$
Đặt: $a=\sqrt[3]{1+\sqrt{x}};b=\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}$
Ta nhận được hệ:
      $\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\a^3+b^3=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\a^3+(2-a)^3=2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\6a^2-12a+6=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x=0$

Phương trình đã chơ tưởng đương với:
      $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=-\sqrt[3]{x+3}$
$\Leftrightarrow x+1+x+2+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$
$\Leftrightarrow x+2+\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=0$
$\Rightarrow x+2=\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$
$\Leftrightarrow (x+2)^3=(x+1)(x+2)(x+3)$
$\Leftrightarrow x+2=0$
$\Leftrightarrow x=-2$, thỏa mãn.

Điều kiện: $x\geq-1$
Phương trình tương đương với:
     $\sqrt{(\sqrt{x+1}-2))^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1$
$\Leftrightarrow |\sqrt{x+1}-2|+|\sqrt{x+1}-1|=1$
*) Nếu $\sqrt{x+1}\ge2 \Leftrightarrow x\ge 3$ thì phương trình trở thành:
                     $2\sqrt{x+1}-3=1 \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2 \Leftrightarrow x=3$
*) Nếu $1\le\sqrt{x+1}<2 \Leftrightarrow 0\le x<3$ thì phương trình trở thành: $1=1$, luôn đúng.
*) Nếu $\sqrt{x+1}<1 \Leftrightarrow x<0$ thì phương trình trở thành:
                     $3-2\sqrt{x+1}=1 \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=1$, loại
Vậy: $0\le x \le 3$