Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le6$.
Ta có:
     $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{3x+1}-4)+(1-\sqrt{6-x})+3x^2-14x-5=0$
$\Leftrightarrow \frac{3x-15}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+(x-5)(3x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-5)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1\right)=0$
$\Leftrightarrow x=5$, vì $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1>0$
Vậy: $x=5$

Điều kiện: $|x|\le2$
Phương trình tương đương với:
$3(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x})=10-3x-4\sqrt{4-x^2}$
Đặt: $t=\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}$
$\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}$
Phương trình trở thành: $3t=t^2\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=0\\t=3\end{array}\right.$
Với $t=0$, suy ra: $\sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}\Leftrightarrow 2+x=4(2-x) \Leftrightarrow x=\frac{6}{5}$
Với $t=3$, suy ra: $\sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}+3$.
Phương trình này vô nghiệm vì $\sqrt{2+x}\le2;2\sqrt{2-x}+3\ge3$, với $x\in[-2;2]$.
Vậy: $x=\frac{6}{5}$.

Xét hàm: $f(t)=t^3+t,t\in\mathbb{R}$
Ta có: $f'(t)=3t^2+1>0, \forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Phương trình đã cho tương đương với:
      $6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^3+2x$
$\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{6x+1})=f(2x)$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{6x+1}=2x$
$\Leftrightarrow 6x+1=8x^3$
$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\frac{1}{2}                        (1)$
Xét $x\in[-1;1]$, đặt: $x=\cos t,t\in[0;\pi]$, ta có:
     $4\cos^3t-3\cos t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos3t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow t\in\{\frac{\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{7\pi}{9}\}$   (vì $t\in[0;\pi]$)
Mà $(1)$ có nhiều nhất 3 nghiệm nên $(1)$ không có nghiệm $x\notin[-1;1]$
Vậy: $x\in\{\cos\frac{\pi}{9};\cos\frac{5\pi}{9};\cos\frac{7\pi}{9}\}$

Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y-2;z-5)+2(x-1;y-4;z-3)+5(x-5;y-2;z-1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}8x-28=0\\8y-20=0\\8z-16=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{5}{2}\\z=2\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{7}{2};\frac{5}{2};2)$
Khi đó ta có:
     $MA^2+2MB^2+5MC^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+5(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=8MI^2+2 \overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC})+IA^2+2IB^2+5IC^2$
$=8MI^2+IA^2+2IB^2+5IC^2$
Vậy $MA^2+2MB^2+5MC^2$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{2};\frac{5}{2};2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ có phương trình:
                                 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{5}{2}-t\\z=2-t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{5}{2}-t\\z=2-t\\x-y-z-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{4}{3}\\x=\frac{29}{6}\\y=\frac{7}{6}\\z=\frac{2}{3}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{29}{6};\frac{7}{6};\frac{2}{3})$

Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y-2;z-5)+(x-1;y-4;z-3)+(x-5;y-2;z-1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-7=0\\3y-8=0\\3z-9=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}\\y=\frac{8}{3}\\z=3\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{7}{3};\frac{8}{3};3)$
Khi đó ta có:
     $MA^2+MB^2+MC^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=3MI^2+2 \overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
$=3MI^2+IA^2+IB^2+IC^2$
Vậy $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{3};\frac{8}{3};3)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ có phương trình:
                                 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}+t\\y=\frac{8}{3}-t\\z=3-t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}+t\\y=\frac{8}{3}-t\\z=3-t\\x-y-z-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{19}{9}\\x=\frac{40}{9}\\y=\frac{5}{9}\\z=\frac{8}{9}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{40}{9};\frac{5}{9};\frac{8}{9})$

b.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x+3;y-5;z+5)+(x-5;y+3;z-7)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x-2=0\\2y-2=0\\2z-2=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\\z=1\end{array}\right.\Leftrightarrow I(1;1;1)$
Khi đó ta có:
     $MA^2+MB^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2$
$=2MI^2+2 \overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+IA^2+IB^2$
$=2MI^2+IA^2+IB^2$
Vậy $MA^2+MB^2$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(1;1;1)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;1)$ có phương trình:
                                 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=1+t\\z=1+t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=1+t\\z=1+t\\x+y+z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=-1\\x=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.$
Vậy: $M(0;0;0)$

a.
Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{AB}=(8;-8;12)$
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(-3;5;-5)$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(8;-8;12)$ có phương trình:
                                      $\left\{\begin{array}{l}x=-3+8t\\y=5-8t\\z=-5+12t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=-3+8t\\y=5-8t\\z=-5+12t\\x+y+z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{4}\\x=-1\\y=3\\z=-2\end{array}\right. $
Vậy: $I(-1;3;-2)$

Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+9 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+9 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-3;y-1;z-1)+4(x-7;y-3;z-9)+9(x-2;y-2;z-2)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}14x-49=0\\14y-31=0\\14z-55=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{31}{14}\\z=\frac{55}{14}\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{7}{2};\frac{31}{14};\frac{55}{14})$
Khi đó ta có:
     $|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+9 \overrightarrow{MC}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+9(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|$
$=|14 \overrightarrow{MI}|=14MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+9 \overrightarrow{MC}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{2};\frac{31}{14};\frac{55}{14})$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;1)$ có phương trình:
                                 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{31}{14}+t\\z=\frac{55}{14}+t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{31}{14}+t\\z=\frac{55}{14}+t\\x+y+z+3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-59}{14}\\x=\frac{-5}{7}\\y=-2\\z=\frac{-2}{7}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{-5}{7};-2;\frac{-2}{7})$

b.
Ta có:
$(1+2(-1)-2.1+1)(-1+2.1-2.3+1)=(-2)(-4)=8$
nên $A,B$ nằm cùng phía với $(P)$.
Sự cùng phía hay khác phía của $A,B$ với $(P)$ không ảnh hưởng gì đến bài toán.

e.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y+1;z-1)+2(x+1;y-1;z-3)+3(x-3;y-1;z+1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}6x-8=0\\6y-4=0\\6z-4=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{2}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$
Khi đó ta có:
     $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|$
$=|6 \overrightarrow{MI}|=6MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ có phương trình:
                                 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}+t\\y=\frac{2}{3}+2t\\z=\frac{2}{3}-2t\end{array}\right.             (t\in\mathbb{R})$
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}+t\\y=\frac{2}{3}+2t\\z=\frac{2}{3}-2t\\x+2y-2z+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-7}{3}\\x=\frac{29}{27}\\y=\frac{4}{27}\\z=\frac{32}{27}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{29}{27};\frac{4}{27};\frac{32}{27})$