Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\sqrt{\left(\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}\right)\left(\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{C}{2}\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{C}{2}\right)$
Tương tự suy ra:
$\sum_{A,B,C}\sqrt{\left(\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}\right)\left(\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{C}{2}\right)}\le2(\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{C}{2})$
Ta chỉ cần chứng minh: $\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan\dfrac{C}{2}\le\cot A+\cot B+\cot C$
Ta có:
$\cot A+\cot B=\dfrac{\sin(A+B)}{\sin A\sin B}=\dfrac{2\sin C}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}\ge\dfrac{2\sin C}{1+\cos C}=2\tan\dfrac{C}{2}$
Tương tự: $\cot B+\cot C\ge2\tan\dfrac{A}{2},\cot C+\cot A\ge2\tan\dfrac{B}{2}$
Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm.

Bài 2.
Ta có:
$U_n=S_n-S_{n-1}$
       $=\dfrac{3^n-1}{3^{n-1}}-\dfrac{3^{n-1}-1}{3^{n-2}}$
       $=\dfrac{1}{3^{n-2}}-\dfrac{1}{3^{n-1}}$
       $=\dfrac{2}{3^{n-1}}$
Khi đó: $\dfrac{U_n}{U_{n-1}}=\dfrac{\dfrac{2}{3^{n-1}}}{\dfrac{2}{3^{n-2}}}=\dfrac{1}{3}$
Suy ra: $(U_n)$ là cấp số nhân với công bội $q=\dfrac{1}{3}$

Bài 1:
b. Ta có: $3^n>3^{n-1},\forall n\ge1$
         $\Rightarrow U_{n+1}>U_n,\forall n\ge1$, hay $(U_n)$ là dãy tăng.
Vì $(U_n)$ là dãy tăng nên $U_n\ge U_1=6$, hay $(U_n)$ bị chặn dưới.

Bài 1:
a. Ta có: $U_{n+1}=3U_n-11$
           $\Leftrightarrow U_{n+1}-\dfrac{11}{2}=3\left(U_n-\dfrac{11}{2}\right)$
Đặt: $V_n=U_n-\dfrac{11}{2}$
Khi đó: $V_1=\dfrac{1}{2},V_{n+1}=3V_n$
Theo công thức của cấp số nhân thì: $V_n=\dfrac{3^{n-1}}{2}$
Suy ra: $U_n=\dfrac{3^{n-1}}{2}+\dfrac{11}{2},\forall n\ge1$.

b. Ta có: $2x+\sqrt{6x^2+1}>2x+\sqrt{4x^2}=2x+2|x|\ge0$
Suy ra: $2x+\sqrt{6x^2+1}>0,\forall x\in\mathbb{R}$
Ta có:
     $\sqrt{2x+\sqrt{6x^2+1}}>x+1$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x+1<0\\\left\{\begin{array}{l}x+1\ge0\\2x+\sqrt{6x^2+1}>(x+1)^2\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x<-1\\\left\{\begin{array}{l}x\ge-1\\\sqrt{6x^2+1}>x^2+1\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x<-1\\\left\{\begin{array}{l}x\ge-1\\6x^2+1>x^4+2x^2+1\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x<-1\\\left\{\begin{array}{l}x\ge-1\\x^2(x^2-4)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x<-1\\\left\{\begin{array}{l}x\ge-1\\-2<x<2\\x\ne0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}0<x<2\\x<0\end{array}\right.$

a. Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+3\ge0\\7-x\ge0\\2x+8\ge0\end{array}\right.\Leftrightarrow -3\le x\le7$
Bất phương trình tương đương với:
     $\sqrt{x+3}>\sqrt{7-x}+\sqrt{2x+8}$
$\Leftrightarrow x+3>7-x+2x+8+2\sqrt{(7-x)(2x+8)}$
$\Leftrightarrow -6>\sqrt{(3-x)(5-2x)}$, vô nghiệm.

b. Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+2\ge0\\3-x\ge0\\5-2x\ge0\end{array}\right.\Leftrightarrow -2\le x\le \dfrac{5}{2}$
Bất phương trình tương đương với:
     $\sqrt{x+2}<\sqrt{3-x}+\sqrt{5-2x}$
$\Leftrightarrow x+2<3-x+5-2x+2\sqrt{(3-x)(5-2x)}$
$\Leftrightarrow 2x-3<\sqrt{(3-x)(5-2x)}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x-3\le0\\\left\{\begin{array}{l}2x-3>0\\(2x-3)^2<(3-x)(5-2x)\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x\le\dfrac{3}{2}\\\left\{\begin{array}{l}x>\dfrac{3}{2}\\2x^2-x-6<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow x<2$
Kết hợp với đk ta có: $-2\le x<2$

a. Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}25-x^2\ge0\\x^2+7x\ge0\end{array}\right.\Leftrightarrow 0\le x\le 5$
Bất phương trình tương đương với:
     $(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{x^2+7x})^2>9$
$\Leftrightarrow 25+7x+2\sqrt{(25-x^2)(x^2+7x)}>9$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{(25-x^2)(x^2+7x)}>-16-7x$, đúng với mọi $x\in[0;5]$
Vậy: $0\le x\le 5$