5.
     $\mathop {\lim }\limits_{x \to 7}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 7}\dfrac{(\sqrt{x+2}-3)-(\sqrt[3]{x+20}-3)}{\sqrt[4]{x+9}-2}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 7}\dfrac{\dfrac{x-7}{\sqrt{x+2}+3}-\dfrac{x-7}{\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\sqrt{x+20}+9}}{\dfrac{x-7}{\sqrt[4]{(x+9)^3}+2\sqrt[4]{(x+9)^2}+4\sqrt[4]{x+9}+8}}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 7}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+3}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\sqrt{x+20}+9}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{(x+9)^3}+2\sqrt[4]{(x+9)^2}+4\sqrt[4]{x+9}+8}}=\dfrac{112}{27}$

4.
     $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(x^2+2009)\sqrt[7]{1-2x}-2009}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2\sqrt[7]{1-2x}+2009(\sqrt[7]{1-2x}-1)}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2\sqrt[7]{1-2x}+\dfrac{-2009.2x}{\sqrt[7]{(1-2x)^6}+\sqrt[7]{(1-2x)^5}+\sqrt[7]{(1-2x)^4}+\sqrt[7]{(1-2x)^3}+\sqrt[7]{(1-2x)^2}+\sqrt[7]{1-2x}+1}}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left(x\sqrt[7]{1-2x}-\dfrac{2009.2}{\sqrt[7]{(1-2x)^6}+\sqrt[7]{(1-2x)^5}+\sqrt[7]{(1-2x)^4}+\sqrt[7]{(1-2x)^3}+\sqrt[7]{(1-2x)^2}+\sqrt[7]{1-2x}+1}\right)=-574$

3.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}\dfrac{2\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}=+\infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\dfrac{2\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}=-\infty$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{2\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$ không tồn tại.

2.
     $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{\sqrt[4]{2x-1}+\sqrt[5]{x-2}}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt[4]{2x-1}-1)+(1-\sqrt[5]{2-x})}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{\dfrac{2x-2}{\sqrt[4]{(2x-1)^3}+\sqrt[4]{(2x-1)^2}+\sqrt[4]{2x-1}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt[5]{(2-x)^4}+\sqrt[5]{(2-x)^3}+\sqrt[5]{(2-x)^2}+\sqrt[5]{2-x}+1}}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\left(\dfrac{2}{\sqrt[4]{(2x-1)^3}+\sqrt[4]{(2x-1)^2}+\sqrt[4]{2x-1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt[5]{(2-x)^4}+\sqrt[5]{(2-x)^3}+\sqrt[5]{(2-x)^2}+\sqrt[5]{2-x}+1}\right)=\dfrac{7}{10}$

1.
     $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{2\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{8-x}}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{2(\sqrt{1+x}-1)-(\sqrt[3]{8-x}-2)}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+1}-\dfrac{-x}{\sqrt[3]{(8-x)^2}+2\sqrt{8-x}+4}}{x}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8-x)^2}+2\sqrt{8-x}+4}\right)=\dfrac{13}{12}$

Ta có: $(a-1)(b-1)\ge0 \Rightarrow ab\ge a+b-1=7-2c$
Lại có:
$P=(a+b)^3-3ab(a+b)+5c^3$
    $=(8-2c)^3-3ab(8-2c)+5c^3$
    $=-3c^3+96c^2-384c+512-3ab(8-2c)$
    $\le -3c^3+96c^2-384c+512-3(7-2c)(8-2c)$
    $=-3c^3+84c^2-294c+344$
Từ giả thiết suy ra: $2c\le6\Rightarrow c\le 3\Rightarrow c\in[1;3]$
Xét hàm số: $f(t)=-3t^3+84t^2-294t+344,t\in[1;3]$
Khảo sát hàm $f$, ta được: $\displaystyle \max_{t\in[1;3]}f(t)=f(3)=137$.
Vậy Max$P=137 \Leftrightarrow a=b=1;c=3$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Từ giả thiết ta có: $3\sqrt{abc}\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow abc\ge 1$.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
     $\left(\dfrac{1}{\sqrt a}+\dfrac{1}{\sqrt b}+\dfrac{1}{\sqrt c}\right)\sqrt[3]{abc}(a^3+b^3+c^3)$
$\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{abc}}}\sqrt[3]{abc}.\dfrac{(a+b+c)^3}{9}$
$=\sqrt[6]{abc}(a+b+c)\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
$\ge (a+b+c)\sqrt[6]{abc}\dfrac{(3\sqrt[3]{abc})^2}{3}$
$=3(a+b+c)\sqrt[6]{(abc)^5}\ge3(a+b+c)$, đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Điều kiện: $x\ge0$
Nhận xét: $x=0$ không thỏa mãn hệ đã cho. Suy ra: $x\ne0$.
Chia 2 vế của phương trình thứ hai cho $x^2$ ta được:
      $2y(1+\sqrt{1+4y^2})=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2}$
$\Leftrightarrow 2y(1+\sqrt{1+4y^2})=\dfrac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)              (*)$
Đặt: $f(t)=t(1+\sqrt{1+t^2}),t\in\mathbb{R}$.
Ta có: $f'(t)=1+\sqrt{1+t^2}+\dfrac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}>0;\forall t\in\mathbb{R}$
nên $f$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ đó: $(*) \Leftrightarrow f(2y)=f(\dfrac{1}{x}) \Leftrightarrow 2y=\dfrac{1}{x}$
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
      $x^3(\dfrac{1}{x^2}+1)+2\sqrt x(x^2+1)=6$
$\Leftrightarrow x^3+x+2\sqrt x(x^2+1)=6$
Dễ thấy vế trái là hàm đống biến trên $(0;+\infty)$ nên phương trình có nghiệm duy nhất: $x=1$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(1;\dfrac{1}{2})$