d)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  m}\frac{x-m}{x^4-m^4}=\mathop {\lim }\limits_{x \to  m}\frac{x-m}{(x-m)(x^3+x^2m+xm^2+m^3)}$
                                 $=\mathop {\lim }\limits_{x \to  m}\frac{1}{x^3+x^2m+xm^2+m^3}=\frac{1}{4m^3}$

c)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{x^3-m^3}{x-m}= \mathop {\lim }\limits_{x \to m} \frac{(x-m)(x^2+xm+m^2)}{x-m}  $
                                $=\lim_{x\to m} (x^2+xm+m^2)=3m^2$ 

b)
$\mathop {\lim }\limits_{a \to 0}\frac{2(x+a)^3-2x^3}{a}=2\mathop {\lim }\limits_{a \to 0}\frac{3x^2a+3xa^2+a^3}{a} $
                                               $=2\lim_{a\to0}(3x^2+3xa+a^2)=6x^2$ 

a) 
$\mathop {\lim }\limits_{a \to 0}\frac{(x+a)^2-x^2}{a}= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0}\frac{2ax+a^2}{a} $
                                          $=\mathop{\lim}\limits_{a\to0}(2x+a)=2x$ 

Gọi $r$ là bán kính đáy của $(C), V$ là thể tích hình nón đỉnh $O$ đáy là hình tròn $(C)$, ta có: $\frac{r}{R}=\frac{SH}{SO}=\frac{h-x}{h} \Rightarrow r=\frac{(h-x)R}{h}$
   $\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^2.x=\frac{1}{3} \pi.\frac{R^2}{h^2}(h-x)^2 x=\frac{\pi R^2}{6h^2}(h-x)^2.2x$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $3$ số $2x,h-x,h-x$ ta được
    $2h=h-x+h-x+2x \geq 3\sqrt[3]{(h-x)^2.2x}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{h}{3}$
Khi đó $V=\frac{\pi R^2}{6h^2}(h-x)^2 \leq \frac{\pi R^2}{6h^2}.\frac{8h^3}{27}=\frac{4\pi R^2h}{81}$
Vậy khi $x=\frac{h}{3}$ thì thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất ($\max V=\frac{4\pi R^2h}{81}$)

e)$e^{2x}+e^{-2x}+2=\left (e^{x}+e^{-x} \right )^{2} $
$\Rightarrow \int\limits \sqrt{e^{2x}+e^{-2x}+2}dx=\int\limits\left ( e^x+e^{-x} \right ) dx= e^x-e^{-x}+C $

a) $ \frac{1+e^{3x}}{1+e^{x}}=1-e^{x}+e^{2x}$
$\Rightarrow \int\limits \frac{1+e^{3x}}{1+e^x}dx $
$ =\int\limits (1-e^x+e^{2x})dx$
$= x-e^x+\frac{1}{2}e^{2x}+C $

d)$\left ( \cot x-\tan x \right )^{2}=\cot ^{2}x+\tan ^{2}x-2=\left ( 1+\cot ^{2}x\right )+\left ( 1+\tan ^{2}x\right )-4 $
$\Rightarrow \int\limits\left (\cot x-\tan x \right )^2dx = \int\limits \left[ {  \left ( 1+ \cot ^2x \right ) +   \left ( 1+\tan ^2x \right )-4 } \right]dx $
                                                      $=- \int\limits d   \left ( \cot x \right )+ \int\limits d (\tan x) - \int\limits 4 dx$
                                                      $=- \cot x+\tan x-4x+C$

c)
$ \frac{x^{4}}{x^{2}-1}=\frac{\left ( x^{4}-1 \right )+1}{x^{2}-1}=x^{2}+1+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right )$
$\Rightarrow \int\limits \frac{x^4}{x^2-1}dx = \int\limits \left[ {x^2+1+\frac{1}{2}   \left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{x+1}  \right ) } \right] dx$
                                    $=\frac{x^3}{3}+x+\frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1} | +C $

b)$ \frac{1}{3x^2-2}=\frac{1}{3}.\frac{1}{x^{2}-\frac{2}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left ( \frac{1}{x-\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{x+\sqrt{\frac{2}{3}}} \right )$
$\Rightarrow \int\limits \frac{dx}{3x^2-2}=\frac{1}{2 \sqrt{6} } \int\limits \left[ {\frac{1}{x- \sqrt{\frac{2}{3}  } }- \frac{1}{x+ \sqrt{\frac{2}{3} } }} \right]dx$
                               $= \frac{1}{2 \sqrt{6} } \ln |\frac{x- \sqrt{\frac{2}{3} }  }{x+ \sqrt{\frac{2}{3} }  } |+C$
                               $=\frac{1}{2 \sqrt{6} }\ln |\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{2}}{\sqrt{3}x+\sqrt{2}}|+C$

a)$ \tan ^{8}x=\left (\tan ^{8}x+\tan ^{6}x \right )-\left ( \tan ^{6}x+\tan ^{4}x \right )+\left ( \tan ^{4}x+\tan ^{2}x \right )-\left ( \tan ^{2}x+1 \right )+1$
$ =\tan ^{6}x\left ( \tan ^{2}x+1 \right )-\tan ^{4}x\left ( \tan ^{2}x+1 \right )+\tan ^{2}x\left ( \tan ^{2}x+1 \right )-\left ( \tan ^{2}x+1 \right )+1$
$=\tan ^{6}x\left ( \tan x \right )^{'}-\tan ^{4}x\left ( \tan x \right )^{'}+\tan ^{2}x\left ( \tan x \right )^{'}-\left ( \tan x \right )^{'}+1$
$\Rightarrow \int\limits \tan ^8xdx=\int\limits   \left ( \tan ^6x-\tan ^4x+\tan ^2x-1 \right ) d(\tan x)+ \int\limits dx$
                                $= \frac{\tan ^7x}{7}- \frac{\tan ^5x}{5}+\frac{\tan ^3x}{3}-\tan x+C   $

Ta có:  $\begin{cases}x^3+4y=y^3+16x\\1+y^2=5(1+x^2)\end{cases} $
        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3=4(4x-y)\\y^2-5x^2=4 \end{array} \right.$ 
        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-5x^2=4\\ x^3-y^3=(y^2-5x^2)(4x-y) \end{array} \right.$ 
        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-5x^2=4\\ 21x^3-5x^2y-4xy^2=0 \end{array} \right.$ 
        $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-5x^2=4\\ x(7x-4y)(3x+y)=0 \end{array} \right.$ 
*) Với $x=0$, suy ra: $y=\pm2$ 
*) Với $7x-4y=0$, suy ra: $-\frac{31}{16}x^2=4$, vô nghiệm.
*) Với $3x+y=0$, suy ra: $(x,y)\in\{(1,-3),(-1,3)\}$ 

Các mệnh đề sai: a, b
Các mệnh đề đúng: c, d, e, f.