Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne0\\\cos^4x\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
Phương trình đã cho tương đương với:
      $\dfrac{\sin^4x+\cos^4x}{\cos^4x}=\dfrac{(2-\sin^22x)\sin3x}{\cos^4x}$
$\Leftrightarrow \sin^4x+\cos^4x=2\sin3x-\sin^22x\sin3x$
$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x=2\sin3x-\sin^22x\sin3x$
$\Leftrightarrow 2-\sin^22x=4\sin3x-2\sin^22x\sin3x$
$\Leftrightarrow (2\sin3x-1)(\sin^22x-2)=0$
$\Leftrightarrow \sin3x=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3}\\x=\dfrac{5\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3}\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne0\\\cos\dfrac{x}{2}\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x\ne\pi+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
     $\tan x+\cos x-\cos^2x=\sin x\dfrac{\cos x\cos\dfrac{x}{2}+\sin x\sin\dfrac{x}{2}}{\cos x\cos\dfrac{x}{2}}$
$\Leftrightarrow \tan x+\cos x-\cos^2x=\dfrac{\sin x\cos\dfrac{x}{2}}{\cos x\cos\dfrac{x}{2}}$
$\Leftrightarrow \tan x+\cos x-\cos^2x=\tan x$
$\Leftrightarrow \cos x-\cos^2x=0$
$\Leftrightarrow \cos x=1$
$\Leftrightarrow x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
    $\dfrac{a^4}{a^3+2b^3}$
$=a-\dfrac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}$
$\ge a-\dfrac{2ab^3}{3ab^2}$
$=a-\dfrac{2b}{3}$
Tương tự: $\dfrac{b^4}{b^3+2c^3}\ge b-\dfrac{2c}{3};\dfrac{c^4}{c^3+2a^3}\ge c-\dfrac{2d}{3};\dfrac{d^3}{d^3+2a^3}\ge d-\dfrac{2a}{3}$
Cộng các BĐT trên lại ta được đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=d$

1.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
    $\dfrac{a^2}{a+2b^2}$
$=a-\dfrac{2ab^2}{a+b^2+b^2}$
$\ge a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}$
$=a-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}$
$\ge a-\dfrac{2}{9}(a+b+ab)$
Tương tự: $\dfrac{b^2}{b+2c^2}\ge b-\dfrac{2}{9}(b+c+bc);\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge c-\dfrac{2}{9}(c+a+ca)$
Cộng các BĐT trên lại ta được:
    $\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}$
$\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}(a+b+ab+b+c+bc+c+a+ac)$
$=\dfrac{5}{9}(a+b+c)-\dfrac{2}{9}(ab+bc+ca)$
$\ge\dfrac{5}{9}(a+b+c)-\dfrac{2}{27}(a+b+c)^2=1$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Điều kiện: $\cos x\ne0 \Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $3-\dfrac{2\sin^2x}{\cos x}-\tan^2x+6\cos x=0$
$\Leftrightarrow 3\cos^2x-2\sin^2x\cos x-\sin^2x+6\cos^3x=0$
$\Leftrightarrow 3\cos^2x-2(1-\cos^2x)\cos x-(1-\cos^2x)+6\cos^3x=0$
$\Leftrightarrow 8\cos^3x+4\cos^2x-2\cos x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x=\dfrac{1}{2}\\\cos x=\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Điều kiện: $\cos x\ne0 \Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $\cos2x+\dfrac{2\cos x\sin^2x}{\sin^2x}-\cos x=2$
$\Leftrightarrow 2\cos^2x-1+\dfrac{2\sin^2x}{\cos x}-\cos x=2$
$\Leftrightarrow 2\cos^3x-\cos x+2(1-\cos^2x)-\cos^2x=2\cos x$
$\Leftrightarrow 2\cos^3x-3\cos^2x-3\cos x+2=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\\cos x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$, vì $|\cos x|\le1$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\pi+k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne0\\\cos2x\ne1\end{array}\right.\Leftrightarrow \sin2x\ne0 \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $(1+\cos2x)(1-\cos2x)=\sin2x\cos x$
$\Leftrightarrow 1-\cos^22x=\sin2x\cos x$
$\Leftrightarrow \sin^22x=\sin2x\cos x$
$\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)=\cos x$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{\pi}{2}-2x=x+k2\pi\\\dfrac{\pi}{2}-2x=-x+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{6}-k\dfrac{2\pi}{3}\\x=\dfrac{\pi}{2}-k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
Kết hợp điều kiện, ta có: $x\in\{\dfrac{\pi}{6}+k2\pi;\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\}$

Phương trình đã cho tương đương với:
      $2\sqrt2\sin^3(x+\dfrac{\pi}{4})=4\sin x$
$\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)^3=4\sin x(\sin^2x+\cos^2x)$
$\Leftrightarrow \sin^3x-\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x+\cos^3x=0$
Nhận xét: $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình.
Chia 2 vế cho $\cos^3x\ne0$, ta được:
      $\tan^3x-\tan^2x-\tan x+1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\\tan x=-1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\sin2x\ne0\\\cot x\ne-1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne k\dfrac{\pi}{2}\\x\ne\dfrac{-\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $\dfrac{1+\dfrac{\sin x}{\cos x}}{1+\dfrac{\cos x}{\sin x}}=2\sin x$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}=2\sin x$
$\Leftrightarrow \sin2x=\sin x$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x=x+k2\pi\\2x=\pi-x+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
Kết hợp đk, ta có: $x\in\{\dfrac{\pi}{3}+k2\pi;\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\}$

Điều kiện: $\cos x\ne0 \Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $\cos2x-\tan^2x=1-\cos x-\dfrac{1}{\cos^2x}$
$\Leftrightarrow 2\cos^2x-1-\tan^2x=1-\cos x-(\tan^2x+1)$
$\Leftrightarrow 2\cos^2x+\cos x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x=-1\\\cos x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\pi+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.

Điều kiện: $\sin x\ne0 \Leftrightarrow x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Phương trình đã cho tương đương với:
      $2\cos^2x+\cot^2x=\sin x+\dfrac{1}{\sin^2x}$
$\Leftrightarrow 2-2\sin^2x+\cot^2x=\sin x+\cot^2x+1$
$\Leftrightarrow 2\sin^2x+\sin x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin x=-1\\\sin x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.