|
|
bình luận
|
Lượng giác 6
có đánh giá như vậy là vì $cos^228x\le1$.còn phương trình (2) thì mình không giải cụ thể mà chỉ thử lại nghiệm cuối cùng thôi.
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
Lượng giác 3
Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
Lượng giác 7
Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
Lượng giác 6
Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Lượng giác 3
|
|
|
|
b.
Điều kiện: $\sin x\ne0 \Leftrightarrow x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Đặt: $u=\cot^2x;v=1-\dfrac{\cos2x}{\sin^2x}$.
Phương trình trở thành: $4u^3+3v^4=7$
Ta có: $u+v=\cot^2x+1-\dfrac{\cos2x}{\sin^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos2x}{\sin^2x}=\dfrac{2\sin^2x}{\sin^2x}=2$
Do đó:
$4u^3+3(2-u)^4=7$
$\Leftrightarrow 3u^4-20u^3+72u^2-96u+41=0$
$\Leftrightarrow (u-1)^2(3u^2-14u+41)=0$
$\Leftrightarrow u=1$
Dẫn tới: $\cot x=\pm1 \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.
|
|
|
|
giải đáp
|
Lượng giác 6
|
|
|
|
a.
Phương trình tương đương với:
$2(\cos x-\cos28x\sin x)=3\sqrt2-\sqrt2\sin10x$
Áp dụng BĐT Bunhia, ta có:
$VT\le2\sqrt{(\cos^2x+\sin^2x)(1+\cos^228x)}=2\sqrt{1+\cos^228x}\le2\sqrt2$
Mặt khác:
$VP=3\sqrt2-\sqrt2\sin10x\ge3\sqrt2-\sqrt2=2\sqrt2$
Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}\cos^228x=1&(1)\\\cos x\cos28x=-\sin x&(2)\\\sin10x=1&(3)\end{array}\right.$
Ta có:
$(1)\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{28}, k\in\mathbb{Z}$
$(3)\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{l\pi}{5},l\in\mathbb{Z}$
Suy ra: $\dfrac{k\pi}{28}=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{l\pi}{5}\Leftrightarrow 5(k-7)=28(l-1)$
Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}k-7=28m\\l-1=5m\end{array}\right.,m\in\mathbb{Z}$
Suy ra: $x=\dfrac{(28m+7)\pi}{28}=\dfrac{\pi}{4}+m\pi,m\in\mathbb{Z}$
Nghiệm này thỏa mãn $(2)$ nếu $m$ chẵn.
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\dfrac{\pi}{4}+m2\pi,m\in\mathbb{Z}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Lượng giác 7
|
|
|
|
c.
Phương trình đã cho tương đương với:
$8\cos^3x-2(2\cos^2x-1)-4\cos x-1=0$
$\Leftrightarrow 8\cos^3x-4\cos^2x-4\cos x+1=0$
$\Rightarrow (\cos x+1)(8\cos^3x-4\cos^2x-4\cos x+1)=0$
$\Leftrightarrow 8\cos^4x-8\cos^2x+1+4\cos^3x-3\cos x=0$
$\Leftrightarrow \cos4x+\cos3x=0$
$\Leftrightarrow \cos4x=\cos(3x-\pi)$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}4x=3x-\pi+k2\pi\\4x=-3x+\pi+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\pi+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{7}+k\dfrac{2\pi}{7}\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$.
Thử lại, ta được: $x\in\{\dfrac{\pi}{7}+k2\pi;\dfrac{-\pi}{7}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{7}+k2\pi;\dfrac{-3\pi}{7}+k2\pi;\dfrac{5\pi}{7}+k2\pi;\dfrac{-5\pi}{7}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\}$
|
|
|
|
bình luận
|
Lượng giác 7
Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Lượng giác 7
|
|
|
|
b.
Ta có:
$\sin x+\sin2x+\sin3x$
$=2\cos x\sin2x+2\sin x\cos x$
$\le2\sqrt{(\cos^2x+\sin^2x)(\sin^22x+\cos^2x)}$
$=2\sqrt{\sin^22x+\cos^2x}$
$=2\sqrt{-\cos^22x+\dfrac{\cos2x}{2}+\dfrac{3}{2}}$
$=2\sqrt{\dfrac{25}{16}-(\cos2x-\dfrac{1}{4})^2}=\dfrac{5}{2}<\dfrac{3\sqrt3}{2}$
Vậy phương trình vô nghiệm.
|
|
|
|
bình luận
|
Bài 1
Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
|
|
|
|
|
|
|
|
bình luận
|
Bài 1
mình sửa lại rồi nhá.
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bài 1
|
|
|
|
b.Theo phần (a) ta có: $a+b=3c \Leftrightarrow p=2c (1)$Mặt khác:$S=pr=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow pabc\dfrac{r}{4R}=S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$Thay $(1)$ vào biểu thức trên ta được:$ab\dfrac{r}{4R}=p^2-(a+b)p+ab\Rightarrow (1-\dfrac{r}{4R})ab=2c^2 (2)$Lại có:$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$Suy ra: $\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}$Dễ dàng chứng minh được: $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}\tan\dfrac{C}{2}\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{1}{10}$Thay vào $(2)$ ta được: $ab=\dfrac{20}{9}c^2$$\Rightarrow ab=20(a+b)^2$$\Leftrightarrow 20a^2-41ab+20b^2=0$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4a=5b\\5a=4b\end{array}\right.$Cả 2 trường hợp đều dẫn tới $\Delta ABc$ vuông. (theo Pytago)
b.Theo phần (a) ta có: $a+b=3c \Leftrightarrow p=2c (1)$Mặt khác:$S=pr=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow pabc\dfrac{r}{4R}=S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$Thay $(1)$ vào biểu thức trên ta được:$ab\dfrac{r}{4R}=p^2-(a+b)p+ab\Rightarrow (1-\dfrac{r}{4R})ab=2c^2 (2)$Lại có:$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$Suy ra: $\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$Mà ta có:$\sin A+\sin B+\sin C= 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}$ $=2\cos\dfrac{A}{2}(\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2})$ $=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$\Rightarrow
\dfrac{r}{4R}=\dfrac{8\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}{8\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}=\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{1}{10}$Thay vào $(2)$ ta được: $ab=\dfrac{20}{9}c^2$$\Rightarrow ab=20(a+b)^2$$\Leftrightarrow 20a^2-41ab+20b^2=0$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4a=5b\\5a=4b\end{array}\right.$Cả 2 trường hợp đều dẫn tới $\Delta ABc$ vuông. (theo Pytago)
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bài 2
|
|
|
|
a.Ta có:$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$Suy ra: $\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}$Mà ta có:$\sin A+\sin B+\sin C= 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}$ $=2\cos\dfrac{A}{2}(\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2})$ $=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}\tan\dfrac{C}{2}$
a.Ta có:$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$Suy ra: $\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$Mà ta có:$\sin A+\sin B+\sin C= 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}$ $=2\cos\dfrac{A}{2}(\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2})$ $=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{8\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}{8\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}=\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
lượng giác 16
|
|
|
|
Điều kiện: $\cos x\ne\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x\ne\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$.
Phương trình tương đương với:
$(2-\sqrt3)\cos x-2\sin^2(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=2\cos x-1$
$\Leftrightarrow -\sqrt3\cos x+\cos(x-\dfrac{\pi}{2})=0$
$\Leftrightarrow \sin x-\sqrt3\cos x=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt3}{2}\cos x=0$
$\Leftrightarrow \sin(x-\dfrac{\pi}{3})=0$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Kết hợp với đk, ta được: $x=\dfrac{4\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
lượng giác 17
|
|
|
|
Điều kiện: $\sin2x\ne0 \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$.
Phương trình đã cho tương đương với:
$\dfrac{1-2\sin^2x\cos^2x}{5\sin2x}=\dfrac{\cos2x}{2\sin2x}-\dfrac{1}{8\sin2x}$
$\Leftrightarrow 8-16\sin^2x\cos^2x=20\cos2x-5$
$\Leftrightarrow 13-4\sin^22x-20\cos2x=0$
$\Leftrightarrow 4\cos^22x-20\cos2x+9=0$
$\Leftrightarrow \cos2x=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$, thỏa mãn.
|
|