1a+b−1a+b−3−(a+b)≥14.(ab−3) (1)
Chuyển vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
1a+b+13−a−b≥3(a+b)4≥3.(a+b)4+14(a+b+ab−3)
Nhân 4 vào 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh, ta có:
4a+b+13−a−b+33−a−b≥3.(a+b)
Theo bất đẳng thức Bunhia-Copxki, ta có:
4a+b+13−a−b≥(2+1)2a+b+3−a−b=3
Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
3+33−a−b≥3.(a+b)
Tương đương:
1+13−a−b≥a+b
Nhân chéo lên, ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
3−a−b+1+(a+b)2−3.(a+b)≥0
Tương đương:
(a+b−2)2≥0
Vì đẳng thức trên luôn đúng, ta có điều phải chứng minh hay bất đẳng thức (1) đúng
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1