|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $ x + y + z \leq 3$ Chứng minh: $xy + yz + zx \leq x + y + Z $
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $ x + y + z \leq 3$ Chứng minh: $xy + yz + zx \leq x + y + z $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $ x+ y+ z=1$ chứng minh: $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant16$
Bất đẳng thức lớp 9 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $ a+ b+ c=1$ chứng minh: $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant16$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Xét $A=\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc}$:$= \frac{a^3}{a^2+ab+ac-ab-ac+2bc}$$= \frac{a^3}{a^2+2bc}$$= \frac{a^2.a+2abc-2abc}{a^2+2bc}$ $= a- \frac{2abc}{a^2+2bc}$Nên, $S=a+b+c-2abc(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab})+3abc$ $\leqslant - 2abc (\frac{9}{(a+b+c)^2}) +3abc$ $\leqslant 3 - 2abc + 3abc $ $= 3 + abc$ $\leqslant 3 + \frac{(a+b+c)^3}{27}$ $= 3+1 = 4$Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=1$
Xét $A=\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc}$:$= \frac{a^3}{a^2+ab+ac-ab-ac+2bc}$$= \frac{a^3}{a^2+2bc}$$= \frac{a^2.a+2abc-2abc}{a^2+2bc}$ $= a- \frac{2abc}{a^2+2bc}$Nên, $S=a+b+c-2abc(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab})+3abc$ $\leqslant 3- 2abc (\frac{9}{(a+b+c)^2}) +3abc$ $\leqslant 3 - 2abc + 3abc $ $= 3 + abc$ $\leqslant 3 + \frac{(a+b+c)^3}{27}$ $= 3+1 = 4$Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=1$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cho e 3 cách lm ạ ..... Thaks nhiều
|
|
|
|
Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$Xét $\frac{a}{\sqrt{b+c}} + \frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$\Leftrightarrow$ $\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{b+c}} + \frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{c+a}} + \frac{\sqrt{2c}}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $$\Leftrightarrow$ $\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{2(a+b)}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$Xét: $A=\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{a+b}}$:$\frac{A}{4}=\frac{a}{2\sqrt{2(b+c})}+\frac{b}{2\sqrt{2(c+a)}}+\frac{c}{2\sqrt{2(a+b)}}$ $\geq$ $\frac{a}{b+c+2} + \frac{b}{c+a+2} + \frac{c}{a+b+2}$$\frac{A}{4} + 3 \geq (a+b+c+2)[\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}+\frac{1}{a+b+2}]$Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki ta có:$\frac{1}{b+c+2} + \frac{1}{c+a+2} + \frac{1}{a+b+2} \geq \frac{(1+1+1)^2}{2a+2b+2c+2+2+2}=\frac{3}{4}$Nên, $\frac{A}{4} \geq \frac{5.3}{4} - 3 = \frac{3}{4}$$\Leftrightarrow A \geq 3 $ (1)Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki:$(a+b+c)(1+1+1)=9 \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3$ (2)Từ (1) và (2) có thể suy ra bất đẳng thức luôn đúngDấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c$
Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$Xét $\frac{a}{\sqrt{b+c}} + \frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$\Leftrightarrow$ $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{b+c}} + \frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{c+a}} + \frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $$\Leftrightarrow$ $\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{2(a+b)}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$Xét: $A=\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{a+b}}$:$\frac{A}{4}=\frac{a}{2\sqrt{2(b+c})}+\frac{b}{2\sqrt{2(c+a)}}+\frac{c}{2\sqrt{2(a+b)}}$ $\geq$ $\frac{a}{b+c+2} + \frac{b}{c+a+2} + \frac{c}{a+b+2}$$\frac{A}{4} + 3 \geq (a+b+c+2)[\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}+\frac{1}{a+b+2}]$Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki ta có:$\frac{1}{b+c+2} + \frac{1}{c+a+2} + \frac{1}{a+b+2} \geq \frac{(1+1+1)^2}{2a+2b+2c+2+2+2}=\frac{3}{4}$Nên, $\frac{A}{4} \geq \frac{5.3}{4} - 3 = \frac{3}{4}$$\Leftrightarrow A \geq 3 $ (1)Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki:$(a+b+c)(1+1+1)=9 \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3$ (2)Từ (1) và (2) có thể suy ra bất đẳng thức luôn đúngDấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Bất đẳng thức Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn xy+yz+zx=1.Cmr:$\frac{1}{x^2+2}$ + $\frac{1}{y^2+2}$+$\frac{1}{z^2+2}$ $\leq\frac{9}{7}$
Bất đẳng thức Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=1 $.Cmr:$\frac{1}{x^2+2}$ + $\frac{1}{y^2+2}$+$\frac{1}{z^2+2}$ $\leq\frac{9}{7}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Đặt $x^2$=a ( 0 $\leq $ a $\leq $ 4)Ta có: A = a + $\sqrt{4-x^2}$Xét hàm f(a)= a + $\sqrt{4-x^2}$Giả sử 0 < b < c $\leq$ 4Ta có: f(c)-f(b)=(c2- b2)[1 - 1/( $\sqrt{4-b}$ + $\sqrt{4-c}$)]Dễ thấy : Hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] > 0 và nghịch biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] < 0Vậy, hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi c < 3,75 và nghịch biến khi và chỉ khi b > 3,75Th1: khi 0 $\leq$ a < 3,75 thì hàm f(a) đồng biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Min = 0Khi đó, f(a)=2Th2: a = 3,75 thì f(a) = 4,25Th3: khi 3,75 < a $\leq$ 4 thì hàm f(a) nghịch biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Max = 4Khi đó f(a)=4Vậy f(a) Min = 2 khi và chỉ khi a = 0 hay x = 0
Đặt $x^2$=a ( 0 $\leq $ a $\leq $ 4)Ta có: A = a + $\sqrt{4-x^2}$Xét hàm f(a)= a + $\sqrt{4-x^2}$Giả sử 0 < b < c $\leq$ 4Ta có: f(c)-f(b)=(c2- b2)[1 - 1/( $\sqrt{4-b}$ + $\sqrt{4-c}$)]Dễ thấy : Hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] > 0 Cũng như hàm f(a) nghịch biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] < 0Vậy, hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi c < 3,75 và nghịch biến khi và chỉ khi b > 3,75Th1: khi 0 $\leq$ a < 3,75 thì hàm f(a) đồng biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Min = 0Khi đó, f(a)=2Th2: a = 3,75 thì f(a) = 4,25Th3: khi 3,75 < a $\leq$ 4 thì hàm f(a) nghịch biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Max = 4Khi đó f(a)=4Vậy f(a) Min = 2 khi và chỉ khi a = 0 hay x = 0
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Đặt x2 = a ( 0 \leq a \leq 4 )Ta có: A = a + căn( 4 - a )Xét hàm f(a)=a + căn( 4 - a )Giả sử 0 < a1 < a2 \leq 4Ta có: f(a2)-f(a1)=(x12 - x22)( 1 - 1/[căn(4-a1 )+căn(4-a1 )] )Dễ thấy : Hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi ( 1 - 1/[căn(4-a1 )+căn(4-a2 )] )\geq 0Khi và chỉ khi : a1\leq 3,75Vậy, hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi a1\leq 3,75 và nghịch biến khi và chỉ khi a1g \geq 3,75Th1: khi 0 \leq a \leq 3,75 thì hàm f(a) đồng biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Min = 0Khi đó, f(a)=2Th2: khi 3,75 \leq a \leq 4 thì hàm f(a) nghịch biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Max = 4Khi đó f(a)=16Nên f(a) Min = 2 khi và chỉ khi a = 0 hay x = 0
Đặt $x^2$=a ( 0 $\leq $ a $\leq $ 4)Ta có: A = a + $\sqrt{4-x^2}$Xét hàm f(a)= a + $\sqrt{4-x^2}$Giả sử 0 < b < c $\leq$ 4Ta có: f(c)-f(b)=(c2- b2)[1 - 1/( $\sqrt{4-b}$ + $\sqrt{4-c}$)]Dễ thấy : Hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] > 0 và nghịch biến khi và chỉ khi [1 - 1/($\sqrt{4-c}$+$\sqrt{4-b}$)] < 0Vậy, hàm f(a) đồng biến khi và chỉ khi c < 3,75 và nghịch biến khi và chỉ khi b > 3,75Th1: khi 0 $\leq$ a < 3,75 thì hàm f(a) đồng biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Min = 0Khi đó, f(a)=2Th2: a = 3,75 thì f(a) = 4,25Th3: khi 3,75 < a $\leq$ 4 thì hàm f(a) nghịch biến nên f(a) Min khi và chỉ khi a Max = 4Khi đó f(a)=4Vậy f(a) Min = 2 khi và chỉ khi a = 0 hay x = 0
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Bất đẳng thức Tìm Min: x2 + $\sqrt{4-x2}$ với x là số thực dương
Bất đẳng thức Tìm Min: $x ^2 $ + $\sqrt{4 - x ^2}$ với x là số thực dương
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Bất đẳng thức Tìm Min: x2 + \sqrt{4-x2} với x là số thực dương
Bất đẳng thức Tìm Min: x2 + $\sqrt{4-x2} $ với x là số thực dương
|
|
|
|
sửa đổi
|
Thách đấu!
|
|
|
|
Nhân chéo và phân tích, ta được:2.căn (3x2 + x) + 4x2 căn (3+x) =3x2.căn (3x + x). căn (3+x)<=> 2.căn (x).căn (3x+1) + 4x.căn (x).căn (3+x) = 3x.căn (3x+1).căn (3+x)<=> 2.căn (3x+1) + 4x.căn (x).căn (3+x) = 3x.căn (3x+1).căn (3+x)Áp dụng liên hợp thần chưởng ta thấy:Liên hợp của 2.căn (3x+1) là: - 4Liên hợp của 4x.căn (x).căn (3+x) là: - 8x.căn (x)Liên hợp của 3x.căn (3x+1).căn (3+x) là: -12x.căn (x)Nhóm các hạng tử với số liên hợp sang 1 vế, đồng thời chuyển hết liên hợp thừa sang 1 vế, ta tách được hạng tử [căn(x) - 1]Bài làm của mình hơi khó nhìn, bạn thông cảm nha
Nhân chéo và phân tích, ta được:2.căn (3x2 + x) + 4x2 căn (3+x) =3x2.căn (3x + x). căn (3+x)<=> 2.căn (x).căn (3x+1) + 4x.căn (x).căn (3+x) = 3x.căn (3x+1).căn (3+x)<=> 2.căn (3x+1) + 4x.căn (x).căn (3+x) = 3x.căn (3x+1).căn (3+x)Áp dụng liên hợp thần chưởng ta thấy:Liên hợp của 2.căn (3x+1) là: - 4Liên hợp của 4x.căn (x).căn (3+x) là: - 8x.căn (x)Liên hợp của 3x.căn (3x+1).căn (3+x) là: -12x.căn (x)Nhóm các hạng tử với số liên hợp sang 1 vế, đồng thời chuyển hết liên hợp thừa sang 1 vế, ta tách được nhân tử chung [căn(x) - 1]Bài làm của mình hơi khó nhìn, bạn thông cảm nha
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cực trị hình học
|
|
|
|
Cực trị hình học Cho đường thẳng d cố định và 1 điểm A cố định khác không thuộc d . Kẻ AH vuông góc với d . Lấy B , C sao cho H nằm giữa B và C .Lấy B' và C' sao cho B' nằm giữa C và C' . CM BC <= B'C'
Cực trị hình học Cho đường thẳng d cố định và 1 điểm A cố định khác không thuộc d . Kẻ AH vuông góc với d . Lấy B , C thuộc d sao cho H nằm giữa B và C .Lấy B' và C' thuộc sao cho B' nằm giữa C và C' . Biết góc BAC = góc B'AC' CM BC <= B'C'
|
|