d,$\Delta ABC$ có đường kính bc
từ câu c==>$\widehat{BCM}+\widehat{BEM}=180^0=>\widehat{BCM}=90^0(\widehat{BEM}=90^0)$=>DPCM

c,ta có $\widehat{CEM}=\widehat{CBM}=45^0==>$ tứ giác CBEM nội tiếp(1)
xét $\Delta EAK=\Delta CAB:CA=AE;AB=AK;\widehat{BAC}=\widehat{EAK}$
=>$\widehat{BCK}=\widehat{BEK}=>$ tứ giác CBKE nội tiếp (2)
từ (1)(2)==> DPCM

b,ta có$\widehat{BCF}=\widehat{BAF}$(2 góc nội tiếp nhìn cung BF  )$=\widehat{BAH}=45^0$
MÀ $ \Delta BCF$ vuông tại F=> ĐPCM

$(C)$ có tâm $I(-1;0)  R=\sqrt5$
ta có $IM.sin30^0 =R=>IM=2\sqrt5$
Vậy là về bài toán tìm điểm thuộc đường biết khoảng cách đến một điểm cho trước nhé
Gọi $M(a;a+1)\in d$
$IM^2=2(a+1)^2=20=>a=1\pm \sqrt{10}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm $AC=>SH$_|_$(ABC)$
Gọi $K$ là trung điểm $AC$ gọi $d$ qua $K       d//SH$
Ta có $AK=CK=BK=\frac{AC}2=>d$ chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Gọi $I\in d    IK=x$
$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp
$\Leftrightarrow IA=IS\Leftrightarrow (\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA})^2=(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KH}+\overrightarrow{HS})^2$
$\Leftrightarrow x^2+2a^2=x^2+a^2+3a^2+2x.\sqrt3a.cos(\overrightarrow{IK};\overrightarrow{HS})$
$\rightarrow 2x.\sqrt3a.cos(\overrightarrow{IK};\overrightarrow{HS})=-2a^2=>x=\frac{a\sqrt3}{3}$
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện là điểm $I$ nằm trên đường thẳng $d$ qua $K$ và $//SH$
cách $K$ một khoảng $x=\frac{a\sqrt3}3$ nằm miền chưa $S$ chia bởi mặt phẳng $(ABC)$
$R=\frac{\sqrt21 a}3$

ta có $A,B \in (C)$ và $AB$ là đường kính
$==>\Delta ABH$  Có đường cao $AN $ và $BM$ trực tâm $C$
mà $AN$ qua $A$ và có $VTPT   \overrightarrow{HB}(2;\frac72)=>AN:4x+7y-29=0$
tt$==>BM:4x-y-18=0=>H(\frac{155}{32};\frac{11}8)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$,cho hình chữ nhật $ABCD $có$ AB=2BC; M$ là trung điểm $BC$ ; pt $AM:3x-5y+9=0$ và $D(-1;-2.)$biết $B \in d:3x-y+1=0$ và $x_B>0. $xác định tọa độ $A,B,C$

giải hệ $\begin{cases}y^3-8y+40=2\sqrt[3]{x-5}-x \\ \frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}=\frac{xy}{x^2+y^2}-\frac38 \end{cases}$