[BDT VASC]    Chứng minh rằng với các số thực $a,b,c$ bất kì ta có bất đẳng thức: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Ứng dụng: Cho $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{xy+1}\ge \frac{3}{2}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $4(a^3+b^3)+c^3=2(a+b+c)(ac+bc-2)$.

Tìm GTLN của biểu thức: $P=\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}+\frac{(a+b)^2+c^2}{16}$.

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $2(x+y)+7z=xyz$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=2x+y+2z$.

Cho $x,y,z$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=9$ và $xyz\le 0$. Chứng minh rằng: $2(x+y+z)-xyz\le 10$.

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Tìm Min $P=\frac{2}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{3}{\sqrt{x+y+z}}$

Bài 2: Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $x^2y+xy^2=x+y+3xy$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+\frac{(1+2xy)^2-3}{2xy}$

Bài 1:Cho $a,b,c>0$.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

Bài 2: Xét các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$.

Bài 3: Xét các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $21ab+2bc+8ac\le 12$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P(a,b,c)=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$