DK $x\geq0$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{x+1})(\sqrt{2x^2-2x+1}+x-1)=(x+1-1)\sqrt x$$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-2x+1}+x-1=(\sqrt{x+1}-1)\sqrt x$$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt x=\sqrt{x+1}+(1-x)$$\Leftrightarrow 2x^2-x+1+2\sqrt x\sqrt{2x^2-2x+1}=2x^2-x+1+2(1-x)\sqrt{x^2+x}$$\Leftrightarrow \sqrt x\sqrt{2x^2-2x+1}=(1-x)\sqrt{x^2+x}$ (Đk có nghiệm $x\leq1$)$\Leftrightarrow x(2x^2-2x+1)=x(x^3-x^2-x+1)$$\Leftrightarrow x^2(x^2-3x+1)=0$Từ điều kiện $0\leq x\leq1$ ta tìm được 2 nghiệm.Đôi khi ta cần trâu bò tí bạn ạ :D

DK $x\geq0$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{x+1})(\sqrt{2x^2-2x+1}+x-1)=(x+1-1)\sqrt x$$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-2x+1}+x-1=(\sqrt{x+1}-1)\sqrt x$$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt x=\sqrt{x^2+x}+(1-x)$$\Leftrightarrow 2x^2-x+1+2\sqrt x\sqrt{2x^2-2x+1}=2x^2-x+1+2(1-x)\sqrt{x^2+x}$$\Leftrightarrow \sqrt x\sqrt{2x^2-2x+1}=(1-x)\sqrt{x^2+x}$ (Đk có nghiệm $x\leq1$)$\Leftrightarrow x(2x^2-2x+1)=x(x^3-x^2-x+1)$$\Leftrightarrow x^2(x^2-3x+1)=0$Từ điều kiện $0\leq x\leq1$ ta tìm được 2 nghiệm.Đôi khi ta cần trâu bò tí bạn ạ :D

ĐK $x\geq1$$pt\Leftrightarrow x^2+x-1+2\sqrt{(x-1)(x^2-1)}=x^3$$\Leftrightarrow x^3-x^2-x+1+1-2(x-1)\sqrt{x+1}=0$$\Leftrightarrow (x-1)^2(x+1)-2(x-1)\sqrt{x+1}+1=0$$\leftrightarrow ((x-1)\sqrt{x+1}-1)^2=0$$\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x+1}=1$Đến đây okey, bình phương với đk $x\geq1$

ĐK $x\geq1$$pt\Leftrightarrow x^2+x-2+2\sqrt{(x-1)(x^2-1)}=x^3$$\Leftrightarrow x^3-x^2-x+1+1-2(x-1)\sqrt{x+1}=0$$\Leftrightarrow (x-1)^2(x+1)-2(x-1)\sqrt{x+1}+1=0$$\leftrightarrow ((x-1)\sqrt{x+1}-1)^2=0$$\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x+1}=1$Đến đây okey, bình phương với đk $x\geq1$

Thử làm câu bất do mình chế nhé,do trình độ mình còn kém nên không khó đâu.

Với a,b,c là các số không âm thoả mãn $a+b+c=a^2+b^2+c^2$, CMR:$\sum\frac{1+a}{1+b^2}\geq3$Mong mn ủng hộ.

Bất đẳng thức

Thử làm câu bất do mình chế nhé,do trình độ mình còn kém nên không khó đâu.

Với a,b,c là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=a^2+b^2+c^2$, CMR:$\sum\frac{1+a}{1+b^2}\geq3$Mong mn ủng hộ.

Bất đẳng thức

đặt $f(x,y)=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$1. Min:xét $f(x,y)-f(0,y)$=$\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}-\frac{-y}{(1+y)^2}$=$\frac{x-y-x^2y+xy^2+y+2yx^2+x^2y}{(1+x)^2(1+y)^2}$$=\frac{x+xy^2+2yx^2}{(1+x)^2(1+y)^2}$ $\geq 0$$\Rightarrow f(x,y)\geq f(0,y)=\frac{-y}{(1+y)^2}=f(y)$Khảo sát hàm số $f(y)$ ta được $f(y)\geq \frac{-1}{4}$ khi $y=1$Vậy $f(x,y)\geq f(0,1) \geq \frac{-1}{4}$2. Max:xét $f(x,0)-f(x,y)$ hoàn toàn tương tự ta tìm được $f(x,y) \leq f(1,0)= \frac{1}{4}$

đặt $f(x,y)=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$1. Min:xét $f(x,y)-f(0,y)$=$\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}-\frac{-y}{(1+y)^2}$=$\frac{x-y-x^2y+xy^2+y+2yx^2+x^2y}{(1+x)^2(1+y)^2}$$=\frac{x+xy^2+2yx^2}{(1+x)^2(1+y)^2}\geq0$$\Rightarrow f(x,y)\geq f(0,y)=\frac{-y}{(1+y)^2}=f(y)$Khảo sát hàm số $f(y)$ ta được $f(y)\geq \frac{-1}{4}$ khi $y=1$Vậy $f(x,y)\geq f(0,1) \geq \frac{-1}{4}$2. Max:xét $f(x,0)-f(x,y)$ hoàn toàn tương tự ta tìm được $f(x,y) \leq f(1,0)= \frac{1}{4}$

đặt $f(x,y)=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$1. Min:xét $f(x,y)-f(0,y)$=$\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}-\frac{-y}{(1+y)^2}$=$\frac{x-y-x^2y+xy^2+y+2yx^2+x^2y}{(1+x)^2(1+y)^2}$$=\frac{x+xy^2+2yx^2}{(1+x)^2(1+y)^2}$ $\geq 0$$\Rightarrow f(x,y)\geq f(0,y)=\frac{-y}{(1+y)^2}=f(y)$Khảo sát hàm số $f(y)$ ta được $f(y)\geq \frac{-1}{4}$ khi $y=1$Vậy $f(x,y)\geq f(0,1) \geq \frac{-1}{4}$2. Max:xét $f(x,0)-f(x,y)$ hoàn toàn tương tự ta tìm được $f(x,y) \leq f(1,0)= \frac{1}{4}$

đặt $f(x,y)=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}$1. Min:xét $f(x,y)-f(0,y)$=$\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}-\frac{-y}{(1+y)^2}$=$\frac{x-y-x^2y+xy^2+y+2yx^2+x^2y}{(1+x)^2(1+y)^2}$$=\frac{x+xy^2+2yx^2}{(1+x)^2(1+y)^2}$ $\geq 0$$\Rightarrow f(x,y)\geq f(0,y)=\frac{-y}{(1+y)^2}=f(y)$Khảo sát hàm số $f(y)$ ta được $f(y)\geq \frac{-1}{4}$ khi $y=1$Vậy $f(x,y)\geq f(0,1) \geq \frac{-1}{4}$2. Max:xét $f(x,0)-f(x,y)$ hoàn toàn tương tự ta tìm được $f(x,y) \leq f(1,0)= \frac{1}{4}$

3 a^2 b+3 a^2 c+3 a b^2+6 a b c+3 a c^2+3 b^2 c+3 b c^2=3 (a+b) (a+c) (b+c)

câu 1: pt đã cho tương đương: 3 a^2 b+3 a^2 c+3 a b^2+6 a b c+3 a c^2+3 b^2 c+3 b c^2=3 (a+b) (a+c) (b+c)

3x2+5x+8−−−−−−−−−−√−3x2+5x+1−−−−−−−−−−√=1điều kiện $3x^{2} +5x+8\geq 0$ và $3x^{2}+5x+1 \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $ x\leq\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$ và $ x \geq\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$ (bấm máy fx-570VN Plus ý)đặt t=$\sqrt{3x^{2}+5x+1}$ $(t\geq0)$pt đã cho $\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}+7}-t=1$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}+7}=t+1$$\Leftrightarrow t^{2}+7=t^{2}+2t+1$$\Leftrightarrow t=3$ (tm)Với t=3$\Leftrightarrow 3x^{2}+5x+1=9$$\Leftrightarrow 3x^{2}+5x-8=0$$\Leftrightarrow x=1 (tm) hoặc -8/3 (loại)cái talex khó gõ thiệt :)

3x2+5x+8−−−−−−−−−−√−3x2+5x+1−−−−−−−−−−√=1điều kiện $3x^{2} +5x+8\geq 0$ và $3x^{2}+5x+1 \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $ x\leq\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$ và $ x \geq\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$ (bấm máy fx-570VN Plus ý)đặt t=$\sqrt{3x^{2}+5x+1}$ $(t\geq0)$pt đã cho $\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}+7}-t=1$$\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}+7}=t+1$$\Leftrightarrow t^{2}+7=t^{2}+2t+1$$\Leftrightarrow t=3$ (tm)Với t=3$\Leftrightarrow 3x^{2}+5x+1=9$$\Leftrightarrow 3x^{2}+5x-8=0$$\Leftrightarrow x=1 (tm) hoặc -8/3 (loại)$cái talex khó gõ thiệt :)

x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=abbiến đổi x2−3x+1=2a^{2}-b^{2}thay vào pt ta đc 2a^{2}-b^2+\frac{\sqrt{3}}{3}ab=0chia cả 2 vế cho a^{2} hoặc b^{2} rồi đặt ẩn phụ là okê nhé bạn

$x^{4}$+$x^{2}$+1=($x^{2}$+x+1)($x^{2}$-x+1)=abbiến đổi x2−3x+1=2$a^{2}$-$b^{2}$thay vào pt ta đc $2a^{2}$-$b^2$+$\frac{\sqrt{3}}{3}ab$=0chia cả 2 vế cho $a^{2}$ hoặc $b^{2}$ rồi đặt ẩn phụ là okê nhé bạn