Cách giải sơ cấp cho bạn:(dùng cô-si hết nhé)
$\sum\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}\geq\sum\frac{\sqrt3(a+b)}{2(bc+4)}\geq\sum\frac{\sqrt3(a+b)}{2(\frac{(b+c)^2}{4}+4)}$
Đến đây: đổi biến $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (4x,4y,4z)$
$4\sum x=2\sum a=12\Rightarrow \sum x=3$
Khi đó, ta cần chứng minh:
$\sum\frac{4\sqrt3x}{2(4y^2+4)}=\frac{\sqrt3}{2}\sum\frac{x}{y^2+1}=\frac{\sqrt3}{2}A$
$3-A=\sum x-\sum\frac{x}{y^2+1}=\sum\frac{xy^2}{y^2+1}\leq\sum\frac{xy}{2}\leq\frac{(\sum x)^2}{6}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow A\geq\frac{3}{2}$
Từ đó suy ra đpcm.