|
giải đáp
|
BPT loga
|
|
|
Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l} 1 \ne 2x - 1 > 0\\ 1 \ne {x^2} - 3x + 2 > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 \ne x > \frac{1}{2}\\ x < 1\,\,\,\,;\,x > 2\\ x \ne \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2} < x < 1\\ x > 2\,\,\,\,\ x \ne \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,(*) \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} }} > 0\,\,\,\,\\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right).{\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} > 0\\ {\log _2}\left( {2x - 1} \right) > {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$ Hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) < 0\\ {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$ giải ($2$) : $(2) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} - 3x + 2} > 1\\ 2x - 1 > \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$ Hoặc $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 < 1\\ 2x - 1 > \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)$ $(4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 1 > 0\\ 3{x^2} - x - 1 > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,;x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ x < \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6}\,;\,x > \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6} \end{array} \right.$ Xét các điều kiện ($*$) ta có $x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ $(5) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 1\\ 3{x^2} - x - 1 > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 1\\ x < \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6}\,\,;\,\,x > \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6} \end{array} \right.$ Đối chiếu với điều kiện ($*$) ta có ($5$) vô nghiệm giải ($3$) : $(3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x - 1 < 1\\ {x^2} - 3x + 1 > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2} < x < 1\\ x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,;\,x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.$ Hệ này vô nghiệm Vậy nghiệm của ($1$) là $x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$
|
|
|
giải đáp
|
BPT mũ
|
|
|
$1)\,\,\,x = 1$ vế trái không xác định, ĐK:$x > 0$ • $\left| {x - 1} \right| > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x < 0 \end{array} \right.$ (loại $x < 0$) $(1) \Leftrightarrow {\log ^2}x - \log {x^2} \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x \le - 1\\ \log x \ge 3 \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le \frac{1}{{10}}\\ x \ge 1000 \end{array} \right.$ Do $x > 2$nên$x \ge 1000$ • $\left| {x - 1} \right| < 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 < x < 2$ $\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow {\log ^2}x - 2\log x - 3 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\, - 1 \le \log x \le 3\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\Leftrightarrow \frac{1}{{10}} \le x \le 1000 \end{array}$ Do $0 < x < 2$ nên $\frac{1}{{10}} \le x \le 2$ ĐS: $\left[ \begin{array}{l} \frac{1}{{10}} \le x < 2\\ x \ge 1000 \end{array} \right.$ $2)$$x = 0$ vế trái không xác định $\begin{array}{l} \left| x \right| > 1:(2) \Leftrightarrow {x^2} - 2x \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 0\\ x \ge 2 \end{array} \right.\\
\end{array}$ Do $\left| x \right| > 1$ nên $\left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right.$ $\left| x \right| < 1,\,\,x \ne 0\,\,\,(1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 0\,\,\, \Leftrightarrow 0 < x \le 2$ Do $\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.\,\,\,\,$nên $0 < x < 1$ ĐS : $\left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 1\\ x \ge 2 \end{array} \right.$
|
|
|
giải đáp
|
PT mũ
|
|
|
$1)$ TXĐ: R. Đặt $f(x) = {2^x} + x - 3$ Ta có $f(1) = 0 \Rightarrow x = 1$ là $1$ nghiệm. Cho $x_1>x_2\in R\Rightarrow 2^{x_1}>2^{x_2}\Rightarrow 2^{x_1}+x_1-3>2^{x_2}+x_2-3$ $\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ suy ra hàm f đồng biến trên R. Khi $x > 1\,\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} > 2 \Rightarrow {2^x} + x - 3 > 0 \Rightarrow $$(1)$ vô nghiệm Khi $x < 1\,\, \Rightarrow \,\,{2^x} < 2\,\,\, \Rightarrow {2^x} + x - 3 < 0 \Rightarrow (1)$ vô nghiệm Vậy $(1)$ có nghiệm duy nhất $x = 1$.
$2)$ Do $12^x>0$, chia cả 2 vế phương trình cho $12^x$ ta được $\left (\frac{3}{12} \right )^x+\left (\frac{4}{12} \right )^x+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$ $\Leftrightarrow 4^{-x}+3^{-x}+1=\left (\frac{13}{12} \right )^x$ Đặt $f(x)=3^{-x}+4^{-x}+1$ ; $g(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x$ Xét $f'(x)=-3^{-x}.\ln3-4^{-x}.\ln4<0\forall x\Rightarrow $ f(x) nghịch biến trên R $g'(x)=\left (\frac{13}{12} \right )^x.\ln\left (\frac{13}{12} \right )\forall x\Rightarrow $ g(x) đồng biến trên R Suy ra phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất. Ta có $f(2)=g(2)\Rightarrow x=2$ là 1 nghiệm của phương trình. Vậy $(2)$ có nghiệm duy nhất $x = 2$
|
|
|
giải đáp
|
hình giải tích trong mặt phẳng
|
|
|
Biết $M_1(2;1),M_2(5;3),M_3(3,-4)$ -Phương trình đường thẳng $M_1M_2 :$ $\frac{x-2}{5-2}=\frac{y-1}{3-1} \Leftrightarrow 2x-3y-1=0$ $BC//M_1M_2$nên phương trình $BC$ có dạng $2x-3y+C=0$, đường thẳng $BC$ qua $M_3(3,-4)$ $\Rightarrow 6+12+C=0\Rightarrow C=-18$ -Phương trình cạnh $BC$ của tam giác là $2x-3y-18=0$ -Phương trình đường thẳng $M_2M_3 :$ $\frac{x-5}{3-5}=\frac{y-3}{-4-3} \Leftrightarrow 7x-2y-29=0$ $AB//M_2M_3$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng : $7x-2y+C=0$ $AB$ qua $M_1(2,1)\Rightarrow 14-2+C=0\Rightarrow C=-12$ Phương trình cạnh $AB$ của tam giác là : $7x-2y-12=0$ - Phương trình đường thẳng $M_1M_3 :$ $\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-1}{-4-1} \Leftrightarrow 5x+y-11=0$ Phương
trình cạnh $AC//M_1M_3$ nên phương trình cạnh $AC$ có dạng $5x+y+C=0$
đường này qua $M_2(5;3)\Rightarrow 25+3+C=0\Rightarrow C=-28$ Phương trình cạnh $AC$ của tam giác là $5x-y-28=0$
|
|
|
giải đáp
|
phương trình lôga
|
|
|
$(1)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $$(2)$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} > \frac{{6k + 3}}{8}$ hoặc $(2)$ có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8} < {x_2}$
* Trường hợp có nghiệm kép: • Ta có: $\begin{array}{l} • \Delta ' = {k^2} - 14k + 13, & \Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 1\\ k = 13 \end{array} \right.\\ +k = 1 \Rightarrow x = 3 \end{array}$ + $ k=13\Rightarrow x=-9 (loai) $
* Trường hợp có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8} < {x_2}$ : $x_{1}\leq
\frac{6k+3}{8}<x_{2}\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}x1.f(\frac{6k+3}{8})<0
(3)\\\begin{cases}f(\frac{6k+3}{8})=0 (4) \\
\frac{S}{2}>\frac{6k+3}{8}\end{cases}\end{array} \right.$ $\begin{array}{l} \left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {6k + 3} \right)\left( {22k + 3} \right) < 0 & \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < - \frac{3}{{22}}\\ \left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} k = - \frac{1}{2}\\ k = - \frac{3}{{22}} \end{array} \right.\\ 4 - k > \frac{{6k + 3}}{8} \end{array} \right. \end{array}$ Với +$k=\frac{-1}{2}$ ta có:$4 - k = 4 + \frac{1}{2} > \frac{{6k + 3}}{8} = 0$ +$k = \frac{3}{{22}}$ ta có : $4 + \frac{3}{{22}} > \frac{{\frac{{18}}{{22}} + 3}}{8}$ +$k = - \frac{1}{2}$ hoặc $k = - \frac{3}{{22}}$ đều là nghiệm của $(4)$
Vậy: $k = 1$ hoặc $ - \frac{1}{2} \le k \le - \frac{3}{{22}}$ thì phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.
|
|
|
giải đáp
|
hàm số mũ
|
|
|
Điều kiện: $(m+1)x^2-2(m-1)x+2m-1>0(*) \forall x\in R (1)$ Ta có: +)$m = - 1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 4x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{4}$ không thỏa mãn với mọi $x\in R.$ +)$m\neq 1$ $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \begin{cases}m+1>0\\ \triangle '<0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\(m-1)^2-(m+1)(2m-1)<0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\m^2+3m-2>0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-1\\ \left[ \begin{array}{l}m<\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \\
\frac{-3+\sqrt{17}}{2}< m\end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Rightarrow
m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2} $ Vậy với $m>\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ thì thỏa mãn đề bài.
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình
|
|
|
Xét $3$ trường hợp:.$a)\,x > 2:\,\,\, \Rightarrow x - 1 > 1:$ Ta có : $(1) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 2\\ x > 4 \end{array} \right.$ suy ra : $x > 4$ $b$) $1 < x < 2 \Rightarrow 0 < x - 1 < 1:$ $(1) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$ suy ra ($1$) vô nghiệm $c$) $x < 1\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x - 1 < 0:$ khi đó vế trái của ($1$) có nghĩa khi ${x^2} - 6x + 8$ nguyên, hay , do đó ${\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1\, > 0$ nên $m$ chẵn. $m = 2k$, suy ra ${\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} - 2k = 0$ $x = 3 \pm \sqrt {1 + 2k} ,\,\,\,k \ge - \frac{1}{2}$ Do $x < 1$ nên $x = 3 + \sqrt {1 + 2k} $ không thỏa mãn Xét điều kiện $x < 1$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 - \sqrt {1 + 2k} < 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + 2k} > 2\\ \Leftrightarrow 2k > 3\\ \Leftrightarrow k > \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow k = 2,3,4...\\ \end{array}$ Kết luận nghiệm của bất phương trình là : $x > 4;\,\,\,x = 3 - \sqrt {1 + 2k} $ với $k = 2,3,4...$
|
|
|
giải đáp
|
BPT
|
|
|
Điều kiện : $x > 1,\,\,\,$ta có $\left| {1 - x} \right| = x - 1$ $(1)
\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6{\log _3}\left( {x - 1} \right) +
\log _3^2\left( {x - 1} \right) + 5 \ge
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Đặt $t = {\log _3}\left( {x - 1} \right)$ ta có ${t^2} + 6t + 5 \ge 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \le - 5\\ t \ge - 1 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _3}\left( {x - 1} \right) \le - 5\\ {\log _3}\left( {x - 1} \right) \ge - 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 \le x - 1 \le \frac{1}{{{3^5}}}\\ x - 1 \ge \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x \le 1 + \frac{1}{{{3^5}}}\\ x \ge \frac{4}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x \le \frac{{244}}{{243}}\\ x \ge \frac{4}{3} \end{array} \right. \end{array}$
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình
|
|
|
$x = 1$ bất phương trình không thỏa mãn. $x \ne 1$ ta xét các trường hợp sau: $\begin{array}{l} a)\,\,\,0 < x < 1:\,(1)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \,x - a < 0\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \,x < a\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < \arcsin \,a\\ 0 < x < 1 \end{array} \right. \end{array}$ Nếu$a \le 0:$ bất phương trình vô nghiệm $0 < a < \sin \,1$ nghiệm của bất phương trình là : $0 < x < arc\sin \,\,a$ $a \ge \sin \,1:$ nghiệm của bất phương trình là :$0 < x < 1$ $b)\,1 < x < \frac{\pi }{2}:$
${x^{{\mathop{\rm s}\nolimits} in\,x - a}} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} in\,x - a > 0$ Ta có hệ:$\left\{ \begin{array}{l} 1 < x < \frac{\pi }{2}\\ \sin \,x > a \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 < x < \frac{\pi }{2}\\ x > arc\sin \,a \end{array} \right.$ Nếu $a \le \arcsin \,1:$ $(1)$ có nghiệm là :$1 < x < \frac{\pi }{2}$ $arc\sin \,1 < a < 1:$ nghiệm là $arcsin \, < x < \frac{\pi }{2}$ $a \ge 1$: $(1)$ vô nghiệm Kết luận: $1)$ $a \le 0:$nghiệm là $0 < x < \frac{\pi }{2}$ $2)$ $0 < a \le \arcsin \,1:$$\left[ \begin{array}{l} 0 < x < arc\sin \,\,a\\ 0 < x < \pi \end{array} \right.$ $3)$ $arc\sin \,1 < a < 1:$$\left[ \begin{array}{l} 0 < x < 1\\ arc\sin \, < x < \frac{\pi }{2} \end{array} \right.$ $4)$ $a \ge 1$$0 < x < 1$
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình
|
|
|
Đặt $t = {5^x},t > 0$ $(1) \Leftrightarrow k{t^2} - t - k - 1 > 0\,\,\,\,(2)$ - Nếu $k = 0:\,\,\, - t - 1 > 0\,\, \Leftrightarrow t < - 1$ $(2)$ không có nghiệm dương nên $(1)$ vô nghiệm. - Nếu $k \ne 0\,:\,\,k{t^2} - t - k - 1 = 0\,\,\,\,$có $2$ nghiệm $t = - 1\,\,,\,\,\,t = 1 + \frac{1}{k}$ *Với $k > 0$có các nghiệm dương là $(1 + \frac{1}{k}, + \infty )\,$do đó $(1)$ có nghiệm. *Với $k < 0$ ta có$f(t) > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{t_1} < t < {t_2}$ Để
$(2)$ có nghiệm dương, điều kiện là ${t_2} = 1 + \frac{1}{k} > 0
\Leftrightarrow k + 1 < 0$( vì $k < 0$) $ \Leftrightarrow k < -
1$ Vậy với $k < - 1$hoặc $k > 0$ thì ($1)$ có nghiệm.
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình mũ
|
|
|
Đặt $t = {2^x},t > 0$ $(1)$ trở thành ${t^2} + mt + m - 1 \le 0$ $f(t) = {t^2} + mt + m - 1$ có $2$ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = - m + 1 \end{array} \right.$ -
Nếu $ - m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m\ge 1\, \Rightarrow f(t)$có $2$
nghiệm âm nên$f(t) \le 0$ không có nghiệm dương nên $(1)$ vô nghiệm. - Nếu $ - m + 1 > 0$ Khi đó $f(t) \le 0$ có tập các nghiệm dương là:$0 < t \le - m + 1$ do đó $(1)$ có nghiệm. Vậy $\forall m < 1$thì $(1)$ có nghiệm.
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình
|
|
|
Đặt $t = {5^x},t > 0$ ta có:
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t^2} - \left( {2m + 5} \right).t + {m^2} +
5 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t > 0$ Gọi $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(t) = \,\,{t^2} - \left( {2m + 5} \right).t + {m^2} + 5$ Ta có $a = 1 > 0,\,\,\,\Delta = {\left( {2m + 5} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 5} \right) = 25$ $f(t)$có $2$ nghiệm ${t_1},{t_2}$và $f(t) > 0$ có nghiệm là : $\left[ \begin{array}{l} t < {t_1}\\ t > {t_2} \end{array} \right.$ Để$\begin{array}{l} f(t) > 0,\forall t > 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{t_1} < {t_2} \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm P} \ge 0\\ S < 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 5 \ge 0\\ 2m + 5 < 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le - 5 \end{array}$
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình loga
|
|
|
$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,0 < \sqrt 3 \sin \,2x - cos\,2x \le \sqrt 3 \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \,2x - \frac{1}{2}cos\,2x \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 0 < \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sin \,\frac{\pi }{3}\\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k2\pi < 2x - \frac{\pi }{6} \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le 2x - \frac{\pi }{6} < \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,(k \in Z)\\ \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi }{{12}} + k\pi < x \le \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \le x < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,(k \in Z) \end{array}$
|
|
|
giải đáp
|
phương trình mũ
|
|
|
Chia $2$ vế của $(1)$ cho ${4^{\frac{1}{x}}}$ta có : $\begin{array}{l} x
\ne 0\,\,\,\,\& \,\,(1) \Leftrightarrow 6{\left( {\frac{9}{4}}
\right)^{\frac{1}{x}}} - 13{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{\frac{1}{x}}} +
6 \le 0\\ \Leftrightarrow 6{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2\left(
{\frac{1}{x}} \right)}} - 13{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}}
+ 6 \le 0 \end{array}$ Đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}},\,\,t > 0$ ta có : $\begin{array}{l} 6{t^2} - 13t + 6 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le t \le \frac{3}{2}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 1}} \le {\left(
{\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} \le \frac{3}{2}x\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - 1 \le \frac{1}{x} \le 1\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 1 \end{array} \right. \end{array}$
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình lôga
|
|
|
Với $\begin{array}{l} a > 0,\,\,\,a \ne 1,\,\,{x^2} + ax + 5 \ge 0\\
\end{array}$ $(1)
\Leftrightarrow {\log _a}3\left( { - {{\log }_3}\sqrt {{x^2} + ax + 5}
+ 1} \right).{\log _5}\left( {{x^2} + ax + 6} \right) + 1 \ge 0$ $1)\,0 < a < 1:$ Đặt $u = {x^2} + ax + 5,\,\,\,\,\,u \ge 0,$ $f(u){\log _3}\left( {\sqrt u + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \ge 1$ Ta có $f(4) = {\log _3}3.{\log _5}5 = 1$ $f(u)$là hàm tăng nên:$u \ge 4\,\,\,\, \Rightarrow f(u) \ge 1$ ${x^2} + ax + 5 \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} + ax + 1 \ge 0$ Vì $0 < a < 1:$nên ${a^2} - 4 < 0$ Bất phương trình không thỏa với $\forall x$ $\begin{array}{l} 2)\,a > 1:\,\,\,\,{\log _3}\left( {\sqrt u + 1} \right){\log _5}\left( {u + 1} \right) \le 1\\ \,\,\,\,f(u) \le 1 \Rightarrow 0 \le u \le 4 \end{array}$ Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + ax + 5 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a)\\ {x^2} + ax + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(q) \end{array} \right.$ Xét $(b)$: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {a^2} - 4\\ a > 1 \end{array} \right.$ $a > 2:\,\,\,\,{x^2} + ax + 1$ có $2$ nghiệm ${x_1} = \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4} }}{2}$ ${x_2} = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4} }}{2}$ Suy ra $(a)$ $ \Leftrightarrow x_1^2 + a{x_1} + 5 = x_1^2 + a{x_1} + 1 + 4 = 4 > 0$ Tương tự $x_2^2 + a{x_2} + 5 > 0 \Rightarrow $với $a > 0$ thì bất phương trình không có nghiệm duy nhất. Với $a = 2$ ta có $x = - 1$ Vậy với $a = 2$ thì bất phương trình có $1$ nghiệm duy nhất $x = - 1$.
|
|